Matematică CAPITOLUL I
OPERAȚIUNI ȘI OPERAȚIUNI MULTIPLE
Teoria seturilor reprezintă temelia matematicii ca cea mai înaltă, universitatea și școala. Ea studiază proprietățile seturilor, operațiile pe seturi, funcționarea seturilor este studiată prin "algebra seturilor". Prin acest termen în matematica modernă se înțelege setul însuși cu operațiile introduse în el având anumite proprietăți.
Setul și elementele sale
Un set poate fi imaginat ca o colecție (o colecție, o clasă) a unor obiecte unite pe o anumită bază.
Cu diferite seturi, omul a trebuit să se ocupe în vremuri străvechi, când, totuși, nu exista niciun concept de "număr". Adesea, în viața de zi cu zi, a fost necesar să se compare numărul diferitelor populații sau obiecte ale aceleiași populații în momente diferite. De exemplu, sunt la fel de multe capete de bovine ca o crestătură pe un copac, sau cât mai mulți șefi de bovine s-au întors din pășune pe măsură ce mergeau la pășune.
Suntem acum folosesc prea des conceptul de lot: spunând „turma“ de a prezenta o varietate de păsări, „turmă“ - o mulțime de cai, „turmă“ set de vaci, „turma“ - o mulțime de oi.
În matematică este convenabil să se considere o figură geometrică ca un set de puncte care posedă anumite proprietăți; o soluție la o ecuație sau la o inegalitate - ca un set de valori ale unei variabile care satisface o ecuație sau inegalitate dată.
Teoria seturilor tratează studiul proprietăților generale ale seturilor care nu depind de natura obiectelor care formează aceste seturi.
Definiția. Obiectele (obiectele) din care este compus setul sunt numite elementele setului.
Setul este de obicei marcat cu literele mari latine A.V. și elementele sale cu litere mici a. în. sau o parte, o literă cu un index, de exemplu, a1. a2. a3. Dacă a este un element al mulțimii A, atunci este scris simbolic. citește "a aparține setului A" sau "a este un element al lui A". Dacă a nu aparține setului A. atunci este scris simbolic.
Însăși conceptul de "set" sugerează că fiecare set trebuie să conțină mai multe elemente. În viața de zi cu zi, un obiect sau o colecție de două obiecte nu este, de obicei, numit set. Nimeni nu spune că o persoană are multe mâini sau picioare, deși vorbesc despre o mulțime de păr pe cap sau o mulțime de vase de sânge.
În matematică, pentru generalitatea raționamentului, este convenabil să considerăm mulțimea oricăror elemente ca set. Luați în considerare seturile care conțin doar un element (set de un singur element) și chiar un set care nu are un singur element.
Definiția. Un set care nu conține elemente este numit gol și este notat cu un simbol Æ.
Un set a cărui număr de elemente poate fi exprimat de un număr natural este numit finit. De exemplu: multe zile ale săptămânii.
Introducerea seturilor singleton și a seturilor goale permite, de exemplu, să afirmăm că fiecare ecuație are un set de soluții, numărul de elemente din ultimul set depinde de forma ecuației și domeniul alocării sale. Deci, pentru ecuația 15x - 2 = 0 setul de rădăcini raționale conține un element, pentru ecuația x + 10 = x - 9 setul de soluții este gol.
Noțiunea de seturi facilitează foarte mult studiul diferitelor proprietăți ale numeroaselor obiecte din orice ramură a cunoașterii. Este imposibil să studiezi sau să descrii fiecare creatură vie care locuiește pe glob. Dar clasificarea în funcție de caracteristicile inerente într-o multitudine de animale din una sau alta clasă ne permite să descriem întreaga lume a animalelor chiar și în cadrul restrâns al manualului zoologic. Nu ar fi posibil să studiem proprietățile unor figuri plane plane, dacă nu izolam proprietățile inerente setului de figuri de un anumit tip.
Metode pentru specificarea seturilor
Setul poate fi considerat dat. dacă există un mod care permite unui anumit subiect să decidă dacă aparține acestui set sau nu aparține acestuia.
Există două modalități principale de a defini seturi. Prima modalitate este de a enumera toate elementele sale (într-o ordine arbitrară); a doua modalitate este de a indica proprietatea caracteristică. și anume o astfel de proprietate încât toate elementele acestui set au și nu posedă nici un obiect care nu este elementul său.
De exemplu, setul A = a. a. d> este dată de enumerarea tuturor elementelor sale. Un astfel de set este notat cu paranteze curbate, care conțin o listă a tuturor elementelor separate prin virgule. Este evident faptul că prin enumerarea tuturor elementelor, este posibil să specificăm doar un set finit.
În acest fel, setul tuturor numerelor de două cifre ar trebui să conțină 90 de elemente și să scrie setul tuturor numerelor de trei cifre - 900 de elemente. Pentru a compila o listă a tuturor oamenilor care locuiesc în prezent pe planeta noastră, ar dura destul de mult timp. Este imposibil să compilați o listă cu numere naturale, deoarece este infinită. Este clar că metoda de enumerare, chiar dacă cineva își neglijează inconvenientele în cazul unui număr foarte mare de elemente, nu este aplicabilă tuturor seturilor. Pentru a specifica un anumit set, este necesar să specificați proprietatea caracteristică pe care o au numai elementele din acest set.
Am setat, de exemplu, setul tuturor primelor cu ajutorul următoarei proprietăți caracteristice: acest set conține acele și numai acele numere naturale divizibile de 1 și de ele însele.
O multitudine de elemente care indică proprietatea caracteristică predeterminată este înregistrată după cum urmează: după o multitudine de elemente bretele denota orice literă mică a alfabetului sau o linie verticală de colon, apoi specifică o proprietate caracteristică.
De exemplu, înregistrarea A = x | x Î R și -7 <х <20> înseamnă că elementele setului A sunt toate numere reale care satisfac inegalitatea - 7 <х <20. Или, говоря о множестве В натуральных четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов и записываем так:
Pentru matematică, un rol special îl joacă seturi ale căror elemente sunt obiecte matematice (numere, puncte, ecuații, funcții etc.).
Seturile ale căror elemente sunt numere se numesc seturi numerice. Pentru unele seturi numerice, se adoptă notații speciale:
N este setul de numere naturale;
N0 este setul de numere întregi ne-negative;
Z este setul de numere întregi;
Q este setul de numere raționale;
R este setul de numere reale (reale).
Diferite subseturi ale setului R pot fi reprezentate pe linia de coordonate. Dacă a și b sunt numere reale distincte
(și
Setul de numere reale R este de asemenea indicat prin
(- ¥, + ¥) și se numește o linie numerică. Fiecare linie de coordonate este o imagine a unei linii de numere.
Relațiile dintre seturi
Atât în viața practică, cât și în raționamentul teoretic, adesea trebuie să alegi din mai multe seturi de elemente și să formezi noi seturi de ele, să stabilești relații diferite între seturile disponibile.
De interes deosebit sunt relațiile dintre seturi care au aceeași natură de elemente.
I. Relația incluziunii nestricte.
Să luăm în considerare un exemplu. Fie A setul tuturor elevilor dintr-o clasă dată, B setul de elevi din această clasă care au succes în toate disciplinele.
Vom clarifica relația dintre apartenența aceluiași element la seturile A și B.
Se știe că x Î Q. Este posibil să se afirme că x Î A. (Da). Ar putea fi x Î B. dar x Ï A. (Nu, nu poate).
Observăm că fiecare element al setului B este un element al mulțimii A. În acest caz, spunem că B este un subset (parte) din setul A.
Definiția. Daca fiecare element al setului B este un element al setului A. atunci setul B este numit un subset al setului A. Acesta este notat cu: BA. (Simbolul inseamna raportul incluziunii nestricoase).
În acest caz, spunem de asemenea că setul B este inclus în setul A sau că setul A include setul B și, de asemenea, că seturile A și B se află în relația de includere nestrică.
1) Setul de elevi dintr-o anumită clasă care studiază limba engleză este un subset al setului tuturor elevilor din această clasă;
2) Setul de cărți despre matematică din unele biblioteci este un subset al setului de cărți din această bibliotecă;
3) Setul de dreptunghiuri este inclus într-un set de paralelograme.
Pentru a vizualiza seturile și relațiile dintre seturi, aceștia desenează figuri geometrice care se află între ele în aceste relații.
Imaginea seturilor prin seturi de puncte ale planului delimitată de curbe închise se numește diagrama Euler-Venn [1]. În Fig. 1 dă diagrama Euler-Venn pentru cazul când
VA.
Proprietățile raportului de includere necriptată.
1 °. Fiecare set A este un subset al ei. pentru fiecare A, A este adevărat.
2 °. Pentru orice seturi ABC dacă AB și B sunt C. Este evident că o parte din partea unui set dat este întotdeauna o parte a acestuia.
3 °. Un set gol este considerat un subset al oricărui set A:
II. Relația egalității.
Relația egalității este un caz special de incluziune non-strictă.
Definiția. Seturile A și B constând din aceleași elemente sunt numite egale.
Egalitatea seturilor este scrisă după cum urmează: A = B. Din definiția egalității seturilor rezultă că numai compoziția setului este importantă, iar ordinea elementelor setului nu este esențială.
Aceste seturi sunt egale, deoarece constau din numerele 1, 4, 9, 16.
2) A este setul de diamante cu unghiuri drepte;
B este setul de pătrate. A = B.
Egalitatea seturilor se caracterizează prin trei proprietăți (aceste proprietăți au raportul egalității de numere).
1 °. Pentru fiecare set A avem A = A.
2 °. Pentru oricare două seturi A și B. dacă A = B. atunci B = A.
Rețineți că este evident că A = B dacă și numai dacă u.
III. Atitudinea de includere strictă.
În cazul în care relația „set B este un subset A“ () doresc să sublinieze faptul că A conține, altele decât elementele de B. elemente este declarat a fi într-o strict inclusă în A sau B este un subset adecvat al setului A.
Definiția. Dacă fiecare element al mulțimii B este un element al setului A. și în A există cel puțin un element care nu aparține setului B. atunci setul B este strict inclus în setul A. Notat.
Setul B în acest caz se numește subsetul corespunzător din A. dacă și.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: