Multiplicitatea algebrică a unei valori proprii este multiplicitatea ei, ca rădăcină a polinomului caracteristic.
Multiplicitatea geometrică a unei valori proprii este dimensiunea spațiului eigenspace ker (A-λI).
Din criteriul pentru valoarea proprie rezultă că multiplicitatea geometrică a valorii proprii este strict pozitivă. precum și faptul că multiplicitatea geometrică nu depășește multiplicitatea algebrică. De aici rezultă că dacă multiplicitatea algebrică este 1, atunci multiplicitatea geometrică este 1.
Un criteriu pentru diagonalizarea unei matrici a operatorului liniar, condiții suficiente pentru diagonalizarea unui operator liniar.
Criteriul: Operatorul Matrix Ae AL (Vn), în baza [e> este diagonală, dacă și numai dacă vektorae1 de bază, e2, ... en sunt vectori proprii ale lui A. Dacă se administrează o matrice Ae în baza vectorilor proprii:, gdeλ Sunt valorile proprii ale operatorului A:
Dock: suficientă. Dacă baza [e] care constă din vectorii proprii ale lui A, t.e.Aek = λkek, apoi în conformitate cu definiția matricei operatorului liniar imeetAe - izλ1 matrice diagonală ... n ..
Necesitate. Fie matricea Ay a operatorului liniar A în baza dată [e] o matrice diagonală de λ1 ... n. Apoi, în mod evident, pentru lyubogoi = 1 ... .n Aei = λiei, tee1, e2, ... en - aλ1 vectorii proprii, λ2, λ3 ... .λn - A. QED valori proprii.
Teorema lui Hamilton-Cayley
Polinomul P (λ) X numită variabilă pentru anularea unei matrice pătratică A, dacă obținem matricea zero, prin substituirea matricea A în polinomul pentru X variabilă, adică p (A) = O.
Pentru orice matrice pătrată A, polinomul se numește caracteristică.
Teorema: un polinom caracteristic al unei matrice este annihilant pentru ea, adică
Dock: Desemnați prin matricea atașată la matricea caracteristică. Apoi teorema presupune
Părțile laterale drepte ale acestor ecuații pot fi considerate ca polinoame cu coeficienți de matrice (coeficientul de fiecare dintre polinomul caracteristic este multiplicată cu matricea de identitate). Din ecuația de mai sus rezultă că matricea-λ este împărțit în (A-λE) dreapta și la stânga nici un reziduu, adică restul este egal cu matricea zero. Bezuostatok Poobobschennoy teorema este valorile din stânga și dreapta mnogochlenapri O matrice permutare în locul A. obține Astfel = 0, adică, după cum este necesar.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: