a) Istoria apariției unor pătrate magice
b) Investigarea modurilor de a umple pătratele magice
c) Investigarea numărului de soluții de pătrate magice.
4. Literatură p.9
5. Anexa p.10-13
Când eram în școala primară. în lecțiile de matematică, profesorul ne-a cerut adesea să umplem pătratele magice. Apoi mă interesau, am simțit că era ceva misterios și misterios în privința lor. M-am descurcat foarte ușor cu sarcina (figura 4). Și acum sunt în clasa a șasea. De asemenea, suntem rugați să umplem pătratele magice din matematică, dar ele sunt mult mai complicate decât cele anterioare. Prin urmare, profesorul nostru ne-a explicat că există tehnici și metode de umplere pătrate magice speciale, și a spus, puteți învăța cum să te facă astfel de pătrate, dacă exploreze modalități de preparare a acestora. Apoi am fost îndepărtat mai serios și de aici am început cercetarea mea asupra compoziției de pătrate magice.
Obiectivele și obiectivele studiului:
· Să se familiarizeze cu istoria apariției pătratelor magice
· Explorați modalitățile de completare a pătratelor magice de ordin 3, 5 și 7.
· Să investigheze numărul de soluții pentru pătratele magice de ordinul 3 și 5.
pentru a umple pătratul magic, există modalități speciale de a face acest lucru rapid.
Istoria apariției unor pătrate magice
Un pătrat magic este o masă pătrată de numere întregi, în care sumele de numere de-a lungul oricărui rând, orice coloană și oricare dintre cele două diagonale principale sunt egale cu același număr.
Pătratul magic este de origine chineză veche. Conform legendei, în timpul domniei împăratului Yu (c. 2200 BC. E.) Apa din râul Galben (Fluviul Galben) a apărut carapace de broască țestoasă sacru pe care erau inscripționate hieroglifele misterioase (Fig. 1a). Aceste semne sunt cunoscute ca lo-shu și sunt echivalente cu pătratul magic prezentat în Fig. 1b. În secolul al 11-lea despre pătrate magice au învățat în India și apoi în Japonia, în cazul în care, în secolul al 16-lea, piața magică are o vastă literatură. Europenii cu piețe magice introduse în scriitorul bizantin din secolul al XV-lea, E. Moshopoulos. Primul pătrat, inventat de europenii pătratul A. Dürer (fig. 2), reprezentat în celebrul său gravură Melancholia 1 (Figura 3). Data creării gravurii (1514) este indicată prin numerele din cele două celule centrale ale liniei inferioare. Pătratele magice au atribuit diferite proprietăți mistice. În secolul al XVI-lea. pătrate a construit 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9 ordinele care au fost asociate cu astrologia 7 planete. Se credea că pătratul de argint gravat pe argint protejează împotriva ciumei. Chiar și astăzi, printre atributele consumatorilor europeni, puteți vedea patratele magice. În secolele 19 și 20. interesul în patratele magice a izbucnit cu vigoarea reînnoită. Ei au început să investigheze folosind metode de algebră mai mare.
Studiul modalităților de a umple pătratele magice
"În zilele tinereții mele, eu
care a fost ... pătrate magice "
Compilarea de pătrate magice sau magice este o formă veche și încă foarte comună de divertisment matematic. Problema constă în găsirea unui astfel de aranjament de numere consecutive (de la 1), în celulele pătrat a decis să suma numerelor în toate rândurile, coloanele și cele două diagonalele unui pătrat la fel.
Cel mai mic pătrat magic este cel cu 9 celule; Este ușor de verificat prin testarea că nu poate exista un patrat magic de patru celule. O mostră din pătratul de magie cu 9 celule din Figura 5.
Punerea noi, în acest pătrat de 4 + 3 + 8, sau 2 + 7 + 6 sau 3 + 5 + 7 sau 4 + 5 + 6, sau orice altă serie de trei numere, vom obține, în toate cazurile, unul și 15. rezultatul este suma care poate fi prevăzută, nu face mai mult de un pătrat, trei linii de pătrat - de sus, de mijloc și de jos - ar trebui să încheie toate 9 numere sale adăuga până la
Pe de altă parte, această sumă trebuie să fie egală, evident, cu totalul triplă al unei linii. Prin urmare, pentru fiecare rând, avem un total de:
În mod similar, puteți predefina suma numerelor unui rând sau a unei coloane a oricărui pătrat magic care constă din orice număr de celule. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți suma tuturor numerelor unui pătrat cu numărul de rânduri.
Rotații și reflecții.
După ce a fost compilat un patrat magic, este ușor să obțineți modificările sale, adică să găsiți un număr de noi pătrate magice. Dacă, de exemplu, am făcut un pătrat, apoi l-am întors mental cu un sfert de revoluție completă (cu 900), obținem un alt pătrat magic: Fig.
Mai multe transformări - până în 1800 (jumătate din cifra de afaceri totală) și de 2700 (trei sferturi din cifra de afaceri totală) - vor da alte două modificări ale pătratului inițial (figura 6).
Fiecare dintre patratele magice nou obținute poate, la rândul său, să fie modificat dacă cineva își imaginează că este reflectat în oglindă. Figura 5 prezintă pătratul inițial și una dintre reflexiile sale oglindite (figura 7).
După ce am făcut toate rotițiile și reflexiile cu pătratul cu 9 celule, obținem următoarele modificări ale acestuia (figura 8).
Acesta este un set complet al tuturor patratelor magice, care pot fi în general compuse din primele nouă numere.
Recepția principal desenând pătrate magice impare, adică pătrate de orice număr impar de celule: .. 3x3, 5x5, 7x7, etc. Recepția acestui secol XVII propusă în matematicianul francez Bache. Deoarece metoda Bachet este de asemenea potrivită pentru un patrat cu 9 celule, este mai convenabil să începeți studiul metodei din acest exemplu. Deci, să începem să compilam un pătrat de magie cu 9 celule în modul lui Bashe.
Desenând un pătrat tras în nouă celule, notăm numerele de la 1 la 9 în ordine, plasându-le în rânduri oblice de trei în rând, după cum se arată în Figura 9.
Numerele aflate în fața pătratului sunt inscripționate în interiorul acestuia, astfel încât acestea să adere la laturile opuse ale pătratului (rămânând în aceleași coloane sau rânduri ca înainte). Ca rezultat, obținem un pătrat (figura 10).
Aplicăm regula lui Bashe construirii unui pătrat de celule de 5x5. Pătratul este alcătuit din 25 de celule. Suma tuturor celor 25 de numere 325. Acum 325 este împărțit la numărul de rânduri (325: 5 = 65), obținem 65, adică suma numerelor în orice direcție ar trebui să fie egală cu un pătrat cu numere 65. Punctul de pornire (Figura 11) ...
Numai numerele aflate în afara casetei rămân, intrați în ea. Pentru a face acest lucru, cifra format de numere, în picioare în afara pătratului ( „terase“), împins mental în piață, astfel încât aceste cifre sunt îmbinate laturile opuse ale pătrat. Se va obține un pătrat magic de 25 de celule (Figura 12).
După ce a compus un pătrat magic de 25 de celule, prin întoarcere și reflectare este posibil să se obțină modificarea sa.
Modul în care Bashe sau, așa cum se numește altfel, "metoda teraselor" - nu este singurul care compune pătrate cu un număr impar de celule. Dintre celelalte metode existente, o tehnică foarte veche, inventată în India chiar înainte de începutul erei noastre, este relativ simplă. Acesta poate fi rezumat în șase reguli. Un exemplu de pătrat magic de 49 de celule (Figura 13).
1. În mijlocul liniei de sus scrieți 1 și chiar în partea de jos a coloanei de lângă dreapta - 2.
2. Următoarele numere sunt scrise în ordine în diagonală spre dreapta în sus.
3. După ce ați ajuns la marginea dreaptă a patratului, mergeți la celula din stânga a celui mai apropiat rând superior.
4. Când ajung la marginea superioară a pătratului, ei trec la celula inferioară a coloanei de lângă dreapta.
Notă. Mergeți la celula din colțul din dreapta sus, mergeți la stânga jos.
5. Mergeți la celulele deja ocupate, mergeți la celula care se află direct sub ultima celulă umplută.
6. Dacă ultima celulă umplută este în rândul de jos al pătratului, mergeți la cea mai de sus celulă din aceeași coloană.
Ghidat de aceste reguli, puteți face rapid pătrățele magice cu orice număr impar de celule.
Dacă nu împărțiți celule pure cu 3, puteți începe să compilați un pătrat magic, nu conform regulii 1, ci printr-o altă regulă.
O unitate poate fi scrisă în orice celulă din seria diagonală care merge din celula de mijloc a coloanei stângi în celula mijlocie a celui mai de sus rând al patratului. Toate numerele ulterioare sunt introduse conform regulilor 2 - 5.
Acest lucru face posibilă compilarea în conformitate cu metoda indiană nu cu una, ci cu mai multe pătrate.
Am făcut următoarea magie de 49 de celule conform metodei indiene (Figura 14).
Studiul numărului de soluții de pătrate magice.
Studiind metodele de realizare a patratelor magice și a literaturii corespunzătoare, am stabilit faptul că, odată cu creșterea dimensiunii pătratului, numărul de patrate magice posibile crește rapid. De exemplu, pentru a treia ordine - singura, pentru 4 ordine de mărime - 880, pentru ordinul 5 - se apropie de un sfert de milion.
Concluzie: Prin efectuarea cercetărilor, am fost convins că nu există un mod universal de a umple pătratele magice. Metoda de umplere a patratelor magice depinde de ordinea lor.
1. În spatele paginilor din manualul de matematică. Moscova. Educație. 1989
2. Dicționarul enciclopedic al tânărului matematician. M., "Pedagogie", "
2. "Diverse activități și experimente". M. "Pentru copii
literatură ", 1972.
Trimiteți-le prietenilor: