1. Conceptul de curbă rectificabilă și lungimea acesteia
Fie curba L dată parametric prin L. a £ t £ b. unde j (t), y (t) sunt continuu pe [a, b]. Luăm o partiție arbitrară T a intervalului [a; b] în segmente. . Deci, ce.
Punctele segmentului [a, b] corespund punctelor curbei, adică punctele cu coordonate.Nu aderăm la punctele obținute pe segmente și obținem o linie întreruptă cu vârfuri la puncte. Această linie poligonală va fi numită inscripționată în curba L. corespunzătoare partiției T date. Lungimea liniei liniei poligonale este egală cu. astfel încât lungimea poliliniei
Observăm că acest lucru este determinat în mod unic de partiția lui T. Noi denotăm prin. .
Definiție 1. Se consideră că o curbă L este rectificabilă. dacă există o limită a sumei (1) pentru.
Numărul este numit lungimea curbei L.
2. Calculul lungimii unei curbe netede
Lemma 1. Următoarele inegalități sunt:
1) Dacă. iar inegalitatea este evidentă.
2) dacă. atunci cel puțin unul dintre numerele B sau C nu este 0. Apoi
Lemma 2 (proprietatea aditivității). Dacă curba rectificabilă L de punctul M0 este împărțită în două curbe L1 și L2. atunci aceste curbe sunt rectificabile și Definiția 2. O curbă L este considerată a fi netedă. dacă ecuația sa poate fi scrisă în formă parametrică. T Î[a; b], unde j (t) și y (t) au derivate continue j ¢ (t) și y ¢ (t) care nu dispar simultan (adică).
Definiție 3. O curbă L este numită bucă-netedă. dacă se poate împărți într-un număr finit de curbe netede.
Teorema 1. Fiecare curbă netedă L .. T Î[a; b] este rectificabil iar lungimea sa este calculată prin formula
Luăm o partiție arbitrară T a [a, b] în segmente și construim o linie poligonală. înscrisă în curba L și corespunzătoare partiției date T. Lungimea sa este calculată prin formula (1). Funcțiile j și y din intervalul () îndeplinesc condițiile din teorema Lagrange. Prin urmare,
Apoi rezultă din (1). (3)
Dacă în (3) se înlocuiește cu. atunci obținem o sumă integrală pentru funcția [a, b]. Deoarece j ¢ (t) și y ¢ (t) pe [a, b] sunt continue, funcția este continuă pe [a, b]. Dar apoi
Luați în considerare diferența și arătați asta. De aici va urma că există și este egal. adică, obținem egalitate (2).
Estimăm modulul diferenței:
Aplicând lema, obținem:
Funcția y ¢ (t) este continuă pe [a, b], de aceea este continuu uniform pe acest interval, prin urmare,
Să presupunem că partiția T satisface condiția. Apoi. Prin urmare, pe baza inegalității (5), avem:
Apoi rezultă din (4).
Formula (1) poate fi scrisă în formular.
Observație 1. Lăsați o curbă netedă să fie dată de o ecuație. Să trecem la ecuațiile parametrice. Noi credem:
Observație 2. Lăsați o curbă netedă într-un sistem de coordonate polare să fie dată de o ecuație. Să trecem la sarcina parametrică:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: