În matematică, sistemul de funcții iterate sau IFS este o metodă de construire a fractalilor, rezultatul fiind întotdeauna auto-similar. IFS - fractale. astfel încât acestea sunt de obicei numite, pot conține orice număr de dimensiuni, dar, de regulă, acestea sunt calculate și accesate în 2D. Fractalul constă în unirea mai multor copii, fiecare copie fiind transformată de o funcție (de aici, "funcția sistemului").
Exemplul canonic este covorul Sierpinski numit și triunghiul Sierpinski. Funcțiile, de regulă, sunt comprimate - acestea schimbă punctele mai aproape unul de celălalt și fac ca formele să fie mai mici. Astfel, forma fractală IFS constă din câteva copii mai mici, care se suprapun, fiecare dintre acestea constând, de asemenea, dintr-o copie, până la infinit. Aceasta este sursa asemănării de sine a naturii fractale.
Atractorul - rezultatul aplicării sistemului de funcții iterate, nu este întotdeauna un fractal, poate fi un set pătrat sau alt set limitat închis. Cu toate acestea, studiul sistemelor de funcții iterate este important pentru teoria fractală, deoarece cu ajutorul lor puteți obține o serie uimitoare de fractali. Teoria funcțiilor iterate este remarcabilă în sine și servește ca parte integrantă a teoriei generale a sistemelor dinamice.
Covorul lui Sierpinski a fost creat folosind IFS (structurile colorate auto-similare sunt evidențiate)
Un fractal IFS colorat este dezvoltat folosind software-ul Apophysis and Electric Sheep.
Formal, funcțiile iterate ale sistemului sunt un set finit de mapări contractante într-un spațiu metric complet. simbolic,
este un sistem repetat dacă fiecare dintre ele este o abreviere pentru un spațiu metric complet.
Hutchinson a arătat că, pentru un spațiu metric, funcțiile sistemului are un unic compact (închis și mărginit) set fix S. O modalitate de construire a unei multitudini de fix, este de a porni de la punctul de pornire sau setul S0 și iteraŃia pașii Fi, luând Sn +1 ca combinarea imaginii Sn sub Fi, și apoi ia S ca uniunea Sn. Din punct de vedere simbolic, un set fix unic are proprietatea:
Setul S este astfel un set fix al operatorului Hutchinson
Existența și unicitatea lui S este o consecință a principiului mapărilor condensate și, de asemenea, a faptului că
pentru orice set compact neimprimat în. (Pentru un IFS contractant această similitudine este valabilă și pentru orice set limitat închis). Elemente aleatoare ale S pot fi obținute prin "jocul haosului" de mai jos.
Construirea IFS cu jocul haosului (animație)
Uneori, fiecare funcție trebuie să fie liniară. sau într-o transformare afină mai generală, deci este reprezentată de o matrice. Cu toate acestea, IFS poate fi construit și din funcții neliniare, inclusiv transformări proiective și transformări Möbius. Algoritmul "flacăra fractală" este un exemplu de IFS cu funcții neliniare. Algoritmul cel mai comun pentru calcularea fractalului IFS este numit jocul haosului. Se compune din selectarea unui punct aleatoriu pe plan, aplicând în mod iterativ una dintre funcțiile alese la întâmplare din funcțiile sistemului și desenarea unui punct. Un algoritm alternativ este de a genera fiecare secvență posibilă de funcții până la o lungime maximă specificată și apoi să construiască rezultatele aplicării fiecăreia dintre aceste secvențe de funcții la punctul de plecare sau în formă. Fiecare dintre aceste algoritmi oferă o construcție globală care generează puncte distribuite în fractal. Dacă se atrage o mică parte a fractalului, multe dintre ele vor ieși din ecran. Aceasta face ca scalarea în construcția IFS să fie de obicei impracticabilă. Deși teoria IFS cere ca fiecare funcție să fie compresivă, în practică, software-ul care implementează IFS necesită ca întregul sistem să fie compresiv în medie.
Diagrama arată construirea IFS din două funcții afine. Funcțiile sunt reprezentate de influența lor asupra pătratului bi-unitar (funcția transformă un pătrat de contur într-o zonă umbrită). Combinația acestor două funcții formează operatorul Hutchinson. Sunt afișate trei iterații ale operatorului, iar apoi imaginea finală are un punct fix, sfârșitul fractalului. Exemple timpurii de fractali care pot fi generate de IFS, includ Cantor, descrisă pentru prima dată în 1884 an, iar curbele de tip Rham curbei auto similar cu cel descris de Georges de Rham în 1957 an.
Un exemplu de burete tridimensional IFS - Menger
Traducere. D. Shakhov
Trimiteți-le prietenilor: