Suprafața NURBS
Mergând la coordonatele omogene ale punctelor de referință, am obținut ecuația curbei NURBS din ecuația B-spline. În mod similar, ecuația de suprafață NURBS se obține dintr-o suprafață B-spline:
unde Pij sunt vectorii punctelor definitorii cu componentele x, y și z și hij sunt coordonatele omogene ale punctelor definitorii. Rețineți că valorile nodale și intervalele valorilor parametrilor coincid cu cele specificate în formula (7.32).
Ecuația (7.40) devine ecuația suprafeței B-spline pentru hij = 1. Arată independent că pentru hij = 1 numitorul (7.40) este identic egal cu unul. Prin urmare, ecuația unei suprafețe B-spline este un caz particular al ecuației de suprafață NURBS. Suprafața NURBS permite, de asemenea, o descriere precisă a suprafețelor cvadratoare, cum ar fi un cilindru, un con, o sferă, un paraboloid și un hiperboloid. Aceste suprafețe sunt numite patrate, deoarece ecuațiile lor au gradul 2 în u și v. Ecuația de suprafață NURBS este adesea folosită pentru reprezentarea internă a suprafețelor patrate în sistemele geometrice de modelare.
Explicăm utilizarea ecuațiilor de suprafață NURBS în sistemele de modelare 3D folosind câteva exemple. Primul exemplu: suprafața obținută prin traducerea curbei (Figura 7.6). Să presupunem că curba transmisă este dată de ecuația NURBS. Această ipoteză nu impune nicio restricție, deoarece ecuația oricărei curbe de la cele considerate de noi poate fi transformată în forma NURBS. Lăsați ordinea acestei curbe l. Valorile nodale tp (p = 0. 1. m + /) care definesc punctele Pj (m + 1 bucăți).
Curba limită a suprafeței NURBS este o curbă NURBS cu punctele de referință corespunzătoare, care sunt vârfurile extreme ale suprafeței care definește polyedronul. Ordinea și valorile nodale ale curbei limită coincid cu aceleași caracteristici ale suprafeței în direcția corespunzătoare. Am arătat deja că suprafețele B-spline posedă această proprietate. În consecință, punctele de definire, ordinea și valorile nodale ale suprafeței într-o direcție care coincide cu direcția schimbării parametrului curbei sunt obținute din caracteristicile curbei transmise, deoarece aceasta este una dintre curbele limită. În special, punctele de definire pe unul din marginile suprafeței sunt punctele Pj (figura 7.6). Mai mult, ordinea suprafeței în direcția v va fi egală cu l. iar valorile nodurilor vor fi egale cu tp (dacă direcțiile parametrilor sunt alese așa cum se arată în Figura 7.6).
Cu toate acestea, avem nevoie de informații despre caracteristicile suprafeței în direcția și. Se presupune că direcția u coincide cu direcția tracțiunii (Figura 7.6) și, prin urmare, în această direcție este suficientă o ecuație liniară. Prin urmare, ordinea curbei NURBS în această direcție va fi 2, iar punctele de referință vor fi de asemenea două. Valorile nodale în direcția u vor fi 0, 0, 1,1, și vor fi două seturi de puncte nodale. Un set, așa cum s-a menționat deja, este obținut de la Py, iar al doilea set este obținut prin traducerea lui Pj cu o distanță d în direcția traducerii. Coordonatele omogene pentru ambele seturi vor coincide cu hj a curbei traduse. Astfel, coordonatele x, y u z punctelor definitorii Pi, j și coordonatele omogene hi, j sunt descrise de următoarele expresii:
unde d este distanța de translație și a este vectorul unității în direcția de traducere.
Ecuația de suprafață NURBS poate fi scrisă după cum se arată mai jos. Calculul se face prin înlocuirea valorilor parametrilor necesari:
Ecuația NURBS (7.43) poate fi utilizată pentru a reprezenta orice suprafață obținută prin traducerea unei curbe. De exemplu, această ecuație NURBS poate fi utilizată pentru a descrie o suprafață cilindrică obținută prin traducerea unui semicerc care se află în planul xxy de-a lungul axei z (figura 7.7). Mai întâi trebuie să setăm reprezentarea NURBS a semicercului. Folosim rezultatele din exemplul 6.6. Punctele de referință vor avea următoarele coordonate:
ordinea curbei trebuie să fie de 3, iar valorile sale nodale sunt 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2. Coordonatele punctelor de referință ale suprafeței cilindrice vor fi:
unde P0,0. R0,1. R0,2. P0,3 și P0,4 desemnează punctele de definire ale arcului inferior și P1,0. P1,1 P1,2. P1, 3 și P1.4 sunt punctele de definire a arcului superior; k este vectorul unității în direcția z. Ecuația de suprafață NURBS cilindrică este obținută prin substituirea și hij Pij în ecuația (7.43), având în vedere că l = 3 și m = 4. Valoarea nodului în direcția V sunt 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2. și în direcția lui u sunt 0, 0, 1, 1.
Să luăm în considerare un alt exemplu - suprafața revoluției. Lăsați curba rotativ se află în planul XZ, axa de rotație coincide cu axa z, iar direcția curbei coincide cu direcția parametrului v suprafeței generate (Fig. 7.8). Presupunem că avem de a face cu o NURBS curbă de ordinul I cu tp nodale valori (p = 0, 1 t + l) și să aibă puncte Pj (t + 1 buc) și hj (coordonate omogene definind puncte). Se poate presupune că fiecare punct Pj specifică împărțit în nouă puncte definitorii definind o secțiune transversală circulară (fig. 7.8).
O descriere detaliată a acestei metode este prezentată în [126]. Cele nouă puncte definitorii ale suprafeței au următoarele coordonate:
Ecuația de suprafață poate fi scrisă ca:
Rețineți că ordinea suprafeței în direcția și este egală cu 3, deoarece forțele de 2 sunt suficiente pentru a reprezenta cercul. Valoarea nodal Nj, l obținută din curba rotativă prezentatoare NURBS și valorile nodale ale Ni, 3 rezultă din nodul reprezentând valorile semicercul: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4.
Pentru a calcula coordonatele punctelor x, y și z pe suprafața NURBS, trebuie să înlocuim valorile corespunzătoare ale parametrilor u = u0 și v = v0 în ecuația (7.44). Atunci vom observa că numitorul și numitorul în această expresie au aceeași formă ca în ecuația suprafeței B-spline. Prin urmare, putem folosi metoda pentru a calcula suprafețele B-spline, deși cu o ușoară schimbare în considerare pentru coordonatele omogene: atunci când se calculează numerotatorul, hi, jPi, j este înlocuit cu Pi, j. și când calculăm numitorul, hi, j este înlocuit cu Pi, j.
În plus, este posibil să se calculeze derivații de suprafață NURBS prin aplicarea metodelor utilizate pentru calcularea suprafeței B-spline și a derivatelor sale. Verificarea acestei afirmații este lăsată cititorului ca un exercițiu.
Vezi de asemenea
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: