adică egalitate
Desigur, presupunem că integralele necorespunzătoare din (1) și (2) există.
5.12.1. Ecuația conductivității termice. Ca exemplu de aplicare a unei transformări sinusoidale, considerăm ecuația căldurii (vezi § 5.5) pentru o tijă semi-infinită:
în condițiile limită
și condiția inițială
Credem că atunci când. Acest lucru nu contrazice considerațiile fizice. Prin urmare, suntem în condiții de posibilitate de a aplica o transformare sinusoidală.
- sinus de transformare a soluției dorite a problemei de mai sus.
Multiplicarea ecuației (3) cu și integrarea peste în intervalul de la 0 la, obținem (luând în considerare (4) - (6))
Astfel, am redus problema la soluția unei ecuații diferențiale liniar de ordinul întâi. O soluție limitată a ecuației (7) care satisface condiția (8) are forma
Formula inversă (a se vedea (3) de la § 4.13) dă
După cum știm (vezi cartea noastră "Matematică superioară, calcul diferențial și integrat", §6.10), convergența integrală, și mai mult (vezi exemplul 2, § 6.14 de mai jos),
Este util să verificăm dacă funcția (11) ne satisface ecuația. La verificare, este necesar să se justifice legitimitatea diferențierii în raport cu parametrul integraliilor necorespunzătoare corespunzătoare.
Integralul din partea dreaptă a (11) este egal, având în vedere (10). Prin urmare, condiția inițială (5) este îndeplinită.
Pentru acest integral este egal cu zero, adică condiția de limită (4) este satisfăcută.
Integralul din (11) converge deoarece
Diferențierea formală a egalității (11) în raport cu variabila pe care o obținem
Pentru a justifica validitatea diferențierii formale, trebuie să specificăm un segment arbitrar al schimbării, și să demonstrăm că integralele (12) converg uniform pe acest interval pentru fix (vezi Teorema 2, § 2.15).
Deoarece, pentru fixare, inegalitatea
unde integrala din partea dreaptă este convergentă și nu depinde de ea. Dar atunci integralele (12) converg în mod uniform, iar diferențierea formală a (11) este legitimă, și (12) de fapt se păstrează (vezi § 2.15, p. 198).
Legalitatea diferențierii formale în obținerea unui instrument derivat parțial este justificată în mod similar.
În mod asemănător, folosind transformarea Fourier complexă, putem rezolva problema conduciei de căldură pentru o tijă infinită în ambele direcții (vezi § 5.6, unde soluția problemei este obținută prin metoda de separare a variabilelor de către Fourier).
5.12.2. Ecuația de vibrație a unui șir fără restricții. Așa cum am stabilit în §5.7, ecuația oscilației unui șir are forma
Rezolvăm ecuația (13) în condițiile inițiale
Presupunem că funcția este de așa natură încât toate calculele care vor fi făcute mai jos sunt legale.
- complexă transformare Fourier (inversă) a funcției.
Integrarea prin părți (presupunând că u dispare), obținem
Înmulțirea Eq (13) cu și folosind condițiile inițiale (14), integrarea de la interior la, folosind (15), obținem ecuația auxiliară
Condițiile inițiale vor fi scrise
Rezolvarea ecuației (16) (o ecuație diferențială obișnuită a ordinii a doua cu coeficienți constanți), obținem
Formula inversiunii (vezi (19) de la §4.12) dă
Astfel, am obținut asta
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: