Elemente ale statisticii cuantice
Probabilități cuantice și statistice. Conceptul de probabilitate este utilizat la fel de mult în fizica statistică și în mecanica cuantică, însă semnificația probabilității în aceste secțiuni ale fizicii diferă semnificativ. Dacă luăm în considerare incidentul de val de Broglie pe ecran, acesta descrie mișcarea unui electron cu un anumit moment, dar cu o coordonate nesigură. Un astfel de electron cu probabilitate egală poate ajunge oriunde pe ecran. Înainte de a ajunge pe ecran, chiar și pentru un singur electron, nu exista o coordonată clară.
În statisticile clasice, dimpotrivă, avem un număr mare de particule identice - atomi sau molecule, fiecare la un moment dat într-un loc strict definit și se mișcă cu o anumită viteză. Aici probabilitatea apare din faptul că avem în vedere proprietățile macroscopice ale sistemelor mari în care detaliile mișcării atomilor și moleculelor individuale erau nesemnificative. Astfel se poate introduce, de exemplu, distribuția vitezei particulelor și se vorbește despre fracțiunea de particule cu viteze în intervalul indicat. Dacă avem de-a face cu un ansamblu de microparticule, atunci în descrierea ei trebuie să ținem cont de proprietățile statistice legate de comportamentul lor cuantic și de faptul că avem un număr mare de particule identice.
Este mai simplu să se formuleze și să se rezolve problemele fizicii statistice în ceea ce privește spațiul de fază. cu cazul particular al cărui plan este de fază. Ne-am intalnit deja in studiul oscilatiilor neliniare si al oscilatiilor auto. În cazul general, spațiul de fază al unui sistem cu grade de libertate s este un spațiu al cărui axă de coordonate conține valorile coordonatelor qi și s ale momentei pi a sistemului. Astfel, dimensiunea spațiului fazei este de 2 secunde. Produsul coordonatelor unui spațiu de fază se numește volumul de fază. Fiecare stare a sistemului corespunde unui punct definit al spațiului de fază (punctul de fază), iar schimbarea stării sistemului în timp este descrisă de o traiectorie de fază. În fizica clasică, poziția punctului de fază poate fi specificată arbitrar cu precizie.
În mecanica cuantică, principiul incertitudinii impune o limitare a preciziei determinării coordonatelor de fază. Despre punctul de fază, putem spune doar că este în celula unității spațiului de fază în volum
Astfel, numărul de stări cuantice g. conținută în volumul de fază , este
Gaze ideale cuantice. Este firesc să începeți să studiați proprietățile statistice din gazele ideale - cele mai simple sisteme de particule care nu interacționează. Fiecare dintre particulele N ale unui gaz ideal are 3 grade de libertate. Prin urmare, dimensiunea spațiului de fază a unui astfel de gaz este de 6N. În acest caz, spațiul ideal de fază gazoasă este împărțit în subprotziuni independente - coordonate și impuls, 3N fiecare. Probabilitatea de a detecta o particulă a unui gaz ideal în orice punct al volumului său este aceeași, astfel încât toate celulele de fază ale subspațiului de coordonate să fie umplete în mod egal.
Se calculează numărul mediu de particule care au o valoare definită a momentului pi sau a energiei Ei. Această valoare
se numește populația nivelului de energie. Aici gif "name =" object5 "align = absmiddle width = 35 height = 27> este numărul de particule cu energie în intervalul de la, este numărul de stări cuantice din acest interval de energie.
În statisticile clasice, cele mai multe proprietăți ale unui gaz ideal nu depind de proprietățile particulelor constituente. În mecanica cuantică, particulele sunt împărțite în două clase - fermioni (sau mai complet - particule se supun statisticii Fermi-Dirac) și bozonilor (particule se supun statisticii Bose-Einstein), proprietățile statistice sunt fundamental diferite. Spin fermions în unități de jumătate-integer :. Fermionii respectă principiul Pauli. O fermion este, de exemplu, un electron. Electronii sunt încărcați negativ, astfel încât aceștia pot forma un gaz ideal fie la descărcări mari și la temperaturi ridicate, fie când încărcarea lor este compensată de o încărcătură pozitivă distribuită în spațiu. Spin bosoni în unități de zero sau întreg :. Bosonii nu se supun principiului Pauli și în oricare stat poate exista un număr de ele. În particular, bosonul este fotoni, niște nuclee, 4 atomi de El și alte particule. Fotoanele practic nu interacționează și formează un gaz ideal.
În plus membrele de statistică cuantică elementară fază volumul celulelor diferă de cele clasice și, de asemenea, din cauza particulelor identice principiu punte pot fi distinse, potrivit cărora starea sistemului, diferind numai particulele permutare yuschiesya-like fizic identică. De aceea, chiar și particulele cuantice care nu interacționează nu sunt independente. Ocuparea statului ocupat de către un fermier datorită principiului Pauli este imposibilă. În schimb, populația statului de bosoni poate fi arbitrară. Această diferență conduce la diferențe calitative în comportamentul sistemelor fermionilor și bosonilor neintegrați cu populații medii de niveluri apropiate de unitate sau care o depășesc. Acest lucru ne permite să vorbim despre două tipuri diferite de gaze cuantice ideale: gazul Bose și gazul Fermi.
Distribuția lui Bose-Einstein. Distribuția Planck. Pentru bosoni, dependența numărului mediu de ocupație al stărilor cu energia Ei la temperatura absolută T are forma
unde k este constanta Boltzmann și este potențialul chimic al sistemului. Potențialul chimic al unui sistem este energia necesară pentru îndepărtarea unei particule din sistem în condiții isobarico-izoterme. Pentru bosoni și, prin urmare, exponentul este ne-negativ pentru orice energie. În limita ei crește și termenul -1 din numitorul cu formula (4.4) poate fi neglijat. Distribuția Bose-Einstein merge în distribuția Maxwell
Aici constanta de normalizare și, în consecință, potențialul chimic poate fi găsit din condiția că suma numerelor de ocupație ale numărului de particule de gaz N
Din Ecuația (4.5) rezultă că rata populației este determinată de diferența energetică dintre niveluri
și la T = 0 numai nivelul cu energie minimă va fi populat. Acest fenomen se numește condensare Bose. Trebuie avut în vedere faptul că materia rămâne un gaz ideal și la condensarea obișnuită a gazului în lichid, tendința bosonilor de a se colecta într-o singură stare cuantică atunci când temperatura este redusă este irelevantă. Concentrarea condensului se manifestă în astfel de fenomene fizice macroscopice ca superconductivitatea, superfluiditatea, emisia indusă de lumină. Aceste fenomene constituie baza progresului tehnic într-o serie de domenii ale tehnologiei.
Pentru fotoni, de exemplu, m = 0. iar distribuția (4.4) devine mult mai simplă și ia forma unei distribuții Planck.
Fononi. În Lectura 5 a cărții [4], am considerat propagarea valurilor într-un mediu elastic continuu, extras din structura sa internă. Pentru gazele de lichide și medii amorfe, această aproximare nu duce la o distorsionare a imaginii calitative a fenomenului. Cu toate acestea, atunci când studiem propagarea valurilor în cristale și capacitatea lor de căldură, structura periodică a materiei nu mai poate fi luată în considerare.
Ca și în orice sistem, propagarea valurilor în cristale apare datorită interacțiunii elastice a elementelor învecinate. În cristale, forțele elastice sunt legate între ele de atomi. Ele pot oscila în două moduri. Aceste oscilații arată foarte simplu atunci când propagă valuri de lungime mare.
Într-un caz, atomii vecini situați pe un segment mult mai mic decât lungimea de undă oscilează în faza opusă. Centrul de greutate al celulei unice a cristalului rămâne staționar la astfel de oscilații, ceea ce corespunde modului în fază (vezi Lectura 2 din [4]). Dacă rețeaua constă din atomi alternativi de două tipuri, atunci o sublattică oscilează relativ la cealaltă. Aceste oscilații se numesc oscilații optice. Oscilațiile optice nu pot fi descrise în modelul unui mediu continuu.
Un alt tip de vibrație este cauzat de deplasarea unidirecțională a atomilor din rețeaua cristalină, în care distanța dintre atomii învecinați nu se schimbă (modul în fază). În limita lungimilor de undă mari, aceste oscilații duc la oscilații ale rețelei ca întreg. Cu astfel de vibrații, rețeaua cristalină poate fi aproximată printr-un model omogen continuu. Cu astfel de fluctuații, undele sonore sunt conectate.
Mișcarea internă a mediului poate fi descrisă în două moduri. Mai întâi, așa cum s-a făcut mai sus, este posibil să se determine mișcarea relativă a particulelor constituente ale mediului de particule. În al doilea rând, este posibilă o cale colectivă, în care mișcarea mișcării interne a mediului este privită ca rezultat al suprapunerii mișcărilor, în care participă toate particulele. În particular, este posibilă o astfel de descompunere a mișcării totale, în care fiecare mișcare colectivă poate fi excitată separat. De exemplu, dacă energia mișcării interne a cristalului este mică, ea poate fi întotdeauna descompusă în valuri plane monocromatice propagând independent una de cealaltă. Conform presupunerii lui de Broglie cu un val monocromatic, este asociată o particulă (un cuantum) a cărei energie este legată de frecvența undei prin relația
Un cuantic al unui val de sunet se numește fonon. Proprietățile fononilor sunt apropiate de proprietățile fotonilor. Astfel, energia fononică este legată de frecvența lor, precum și de fotoni (ecuația 4.9). Phononii, ca fotoni, respectă statisticile lui Bose. În limba fononilor, încălzirea rețelei de cristal înseamnă o creștere a temperaturii gazului fonon. La amplitudini mici de oscilație în cristalele ideale, oscilațiile optice și sonore pot fi considerate independente. În acest caz, de asemenea, diferiți fononi nu interacționează unul cu celălalt, ca urmare a faptului că gazul fonon poate fi considerat ideal. Apoi, funcția de distribuție este descrisă de o formulă similară cu formula lui Planck pentru densitatea spectrală a fotonilor emise de un corp absolut negru (4.8). În cristalele reale, condițiile pentru natura ideală a unui gaz fonon sunt bine satisfăcute în condiții obișnuite.
Fononii au proprietăți caracteristice ale particulelor, dar ele nu sunt particule fundamentale, ci apar ca excitație într-un mediu condensat. Prin urmare, fononii sunt numiți quasiparticule.
Distribuția Fermi-Dirac. În cazul în care particulele Bose se deplasează deloc la starea solului, apoi pentru fermioni - particule cu jumătate de număr întreg de spin prezența a două particule într-un cuantum de fumat de stat al lui Pauli de excludere. În consecință, distribuția energiei fermiunilor este mai extinsă. Este scris în formă
și se numește distribuția Fermi-Dirac. Potențialul chimic din distribuție (4.10) poate fi negativ sau pozitiv. În acest caz, deoarece pentru orice argument, în deplină conformitate cu principiul Pauli. La energii de excitație ridicate, de asemenea, ca și (4.4), trece peste distribuția clasică Maxwell.
Pentru o temperatură zero absolută, valoarea funcției se schimbă brusc într-un punct. Dacă acest lucru și cu numerele de ocupație sunt egale cu zero :. Astfel, distribuția ia forma unei etape (linie solidă în Figura 4.1).
Atunci când tranziția de la stările pline la stări cu numere de ocupare zero are loc în vecinătatea lățimii potențialului chimic, iar pasul se estompează (punctat în Figura 4.1).
^ Gazul electronic in metale. Electronii dintr-un metal se comportă îndeaproape cu un gaz Fermi ideal, deoarece repulsia lor reciprocă este aproape complet compensată de câmpul de ioni încărcați pozitiv ai rețelei de cristal. La temperaturi scăzute, toate statele cu energie se dovedesc a fi umplute cu electroni. Cantitatea este în acest caz numele energiei Fermi și este notată.
Prin urmare, numărul de stări a căror energie este mai mică decât energia Fermi coincide cu numărul de electroni. Volumul fazei pentru o singură particulă a unui gaz ideal este produsul volumului geometric V de volumul în spațiul de impuls. Deoarece energia nu depinde de direcția a impulsului, elemente și faze de ambalare volumul intervalul conductor de energie corespunzător se obține prin adăugarea elementului tary constatare volum schihsya-prefectura la punct fix la distanță. Rezultatul sumării este stratul sferic (Figura 4.2). Luând în considerare două valori posibile ale numărului de spin, pentru numărul de electroni din volumul V obținem expresia. Pentru densitatea electronilor dN / V, ținând seama de legătura dintre impuls și energie, avem
Numărul total de electroni de conducere pe unitatea de volum dintr-un metal poate fi găsit prin integrarea expresiei (4.7):
Dacă luăm concentrația tipică de electroni în metal n = 6 × 10 28 m -3.
= 9,10 -19 J = 5,4 eV. (4.13)
Într-un gaz obișnuit non-cuantic, o astfel de energie se obține prin molecule la T
Întrebări pentru auto-examinare
Cum se deosebesc probabilitățile din fizica statistică de probabilitățile din mecanica cuantică?
De ce există un număr finit de stări cuantice într-un anumit volum de faze?
Construiți un program de distribuție Bose-Einstein.
Cum se corelează distribuția lui Bose-Einstein cu formula lui Planck?
Care este diferența dintre un foton și un fonon?
Cum arată distribuția Fermi-Dirac când?
De ce electronul de conducere dintr-un metal poate fi privit ca un gaz Fermi ideal?
Probabilități punctuale mecanice și statistice.
Gaze ideale cuantice.
Distribuția lui Bose-Einstein.
Distribuția Fermi-Dirac.
Gaze electronice în metale.
Curs 6 Elemente reactive neliniare elemente inductive neliniare
Elementele inductive neliniare sunt bobine înfășurate pe un miez de material feromagnetic
Curs 3 circuite neliniare elemente de circuit neliniare
Circuitele electrice neliniare sunt lanțuri ale căror parametri depind de curent și de tensiune și conțin elemente neliniare.
8. Comandă de control pian pyssumkovogo
Subiectul, subiectul, metoda și sarcinile statisticii. Organizarea de statistici în Ucraina
Tema înțelegerii de bază, subiectul și metoda statisticilor
Scopul este de a ține cont de statistici - una dintre disciplinele de bază ale sistemului de dezvoltare economică și cea mai importantă pentru ele, în timp ce statisticile de humming.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: