2.6 Mătură circulară.
Semnalele reale corespund secvențelor numerice de lungime finită. O secvență numerică finită poate fi continuată de-a lungul axei timpului prin repetarea periodică și obținerea unei secvențe numerice periodice. O secvență numerică periodică corespunde unui spectru sub forma unei secvențe numerice periodice. Ambele secvențe au aceeași perioadă N și sunt conectate prin formulele DFT.
Înlocuirea secvențelor reale cu cele periodice face posibilă creșterea eficienței utilizării tehnologiei informatice în raport cu semnalele discrete (convoluție de viteză, FFT etc.)
Convoluția secvențelor periodice se numește circulară și se definește pe un interval egal cu o perioadă.
y (nT) = x (kT) hh (nT - kT), (2.13)
Convoluțiile liniare și circulare dau același rezultat dacă mărimea secvențelor inițiale este aleasă în mod adecvat în convoluția circulară. Faptul este că convoluția secvențelor finite conduce la o secvență a cărei mărimea N depășește lungimea fiecărei secvențe originale și, prin definiție, este egală cu
unde N1 este lungimea secvenței x (nT),
N2 este lungimea secvenței h (nT).
Prin urmare, înlocuirea secvenței inițiale cu una periodică se face astfel încât lungimea perioadei să se dovedească a fi N, adăugând zerouri ca elemente lipsă în acest scop.
Calculați convoluția circulară conform exemplului de la punctul 2.4.
Aici, neglijând valorile mici ale probelor, reprezentăm răspunsul impulsului sub forma unei secvențe numerice finite h (nT) =.
Prin urmare, deoarece x (nT) =, luând în considerare (2.14)
Prin urmare, secvențele numerice inițiale sunt scrise astfel
Prin urmare, aplicând (2.13), obținem
n = 0: y (0t) = x (0T) h (0T) + x (1T) h (-1T) + x (2T) h (-2T) + x (3T) h (-3T) = 0;
n = 1: y (1T) = x (0T) h (1T) + x (1T) h (0T) + x (2T) h (-1T) + x (3T) h (-2T) = 0,4 ;
n = 2: y (0t) = x (0T) h (2T) + x (1T) h (1T) + x (2T) h (0T) + x (3T) h (-1T) = 0,168;
n = 3: y (0t) = x (0T) h (3T) + x (1T) h (2T) + x (2T) h (1T) + x (3T) h (0T) = -0,016;
Prin urmare, y (nT) =, care coincide cu calculele pentru convoluție liniară în exemplul de la punctul 2.4.
Graficele secvențelor numerice periodice x (nT), h (nT), y (nT) sunt prezentate în figura (2.7).
Prin secvențe numerice periodice obținute prin metoda descrisă mai sus, este posibil să se aplice DFT, multiplicat rezultatele și după efectuarea unei DFT inverse pentru a obține o secvență de y (nT), care coincide cu rezultatele calculelor pe o convoluția circulară.
2.7. Energia unui semnal discret.
Corelația și spectrul energetic.
Ca energie a unui semnal discret, se ia o măsură
respectiv în domeniul frecvenței, în conformitate cu egalitatea lui Parseval,
Wx = X2 (w) dw = X (jw) X * (jw) d (jw), (2.16)
unde X (jw) = X (w) e j j (w) este spectrul semnalului x (nT),
X * (jw) = X (w) e-j j (w) este spectrul x (-nT) în conformitate cu teorema spectrului semnalului invers,
X2 (w) = X (jw) × X * (jw) = Sx (jw) este spectrul de energie al semnalului x (nT).
Figura (2.8) prezintă ca exemplu un semnal x (nT) și copia inversă x (-nT) pentru un anumit caz
Spectrul de energie exprimă puterea medie a semnalului x (nT), care se încadrează pe o bandă de frecvență îngustă în vecinătatea variabilei w.
În domeniul timpului, spectrul de energie corespunde convoluției semnalelor inversate, care determină funcția de corelație Sx (nT) a semnalului x (nT).
În conformitate cu (2.17) și (2.15), funcția de corelație la punctul n = 0 este egală cu energia semnalului,
Pentru semnalele discrete periodice, funcția de corelare și spectrul de energie sunt legate de formulele DFT
De aici se obțin formulele energetice calculate ale secvențelor discrete periodice
care corespunde ecuației Parseval pentru semnale periodice discrete. Funcția de corelare a acestor semnale este determinată de formula unei convoluții circulare
.
Calcularea energiei unui semnal discret poate fi efectuată dacă este necesar, aplicând ecuația lui Parseval în ceea ce privește imaginile Z ale semnalului și copia inversă a acestuia (teorema energiei)
unde - Z este imaginea funcției de corelație.
Este de remarcat faptul că în cazul semnalelor aleatoare, funcția de corelare este adesea determinată de o formulă cu un factor de greutate, adică
,
respectiv pentru spectrul de energie
,
ceea ce duce la un rezultat în care valoarea medie a unei variabile aleatoare converge la o valoare constantă cu creșterea N
Convoluția unui semnal cu o copie inversă a unui alt semnal se numește corelație încrucișată a acestor semnale.
Informații despre lucrare «Prelucrarea semnalului digital»
Secțiunea: Electronica radioului
Numărul de caractere cu spații: 72858
Număr de mese: 1
Număr imagini: 34
Trimiteți-le prietenilor: