Remarcăm, scrieți-o în formă conjugată, calculată;
Lăsați-o să se schimbe în interval. Să comparăm două ecuații:
Aici și, și. Prima dintre ecuații poate fi reprezentată ca:
Aceasta este ecuația lui Euler. Căutăm soluții speciale sub forma:
.
Înlocuim ecuațiile. Apoi obținem ecuația caracteristică:
.
Punerea, ajungem. Soluția generală
.
Dacă luăm o soluție anume, are un număr infinit de zerouri la punctele: dacă teorema comparația între două zerouri consecutive ale ecuației luate în considerare (la), va fi de cel puțin un zero din fiecare soluție a ecuației:
Notă: fiecare soluție a ecuației (12.48) are un număr infinit de rădăcini pe interval.
12.2 Noțiunea de probleme de valoare limită
Problema Cauchy pentru o ecuație diferențială este problema găsirii unei soluții particulare care satisface condițiile inițiale date. Dar, atunci când se ocupă cu multe probleme fizice (vibrații șir de caractere, diseminarea de căldură în tija, difuzia substanțelor, etc.) pentru a găsi o soluție pentru ecuația diferențială numai pe intervalul și, în același timp, ar trebui să îndeplinească așa-numita limita (limita) condițiile, care sunt definite în mai mult de un punct ( ca în problema Cauchy), dar la capetele intervalului. Sarcina de a găsi o soluție pentru ecuația diferențială care îndeplinește condițiile date la limită, numita problemă de valoare limită.
Să analizăm formularea problemelor de valoare limită pentru anumite ecuații diferențiale liniar secundare. Din teoria ecuațiilor diferențiale liniare se știe că ecuația:
unde sunt funcții continue, are o soluție generală a formei:
Funcțiile u sunt definite și sunt liniar independente pe acest interval, soluții particulare ale ecuației omogene corespunzătoare; - orice soluție particulară a ecuației neomogene (12.49); Sunt constante arbitrare.
Problema valorii limită pentru ecuația (12.49) în cazul general este formulată după cum urmează: găsiți soluții ale acestei ecuații care satisfac condițiile de graniță date. Următoarele condiții limită sunt luate în considerare:
1) (condiții de primul tip).
Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că este necesară găsirea curbei integrale a ecuației diferențiale (26) care trece prin punctele date și.
2) (condiții de tipul al doilea).
Geometric, aceasta înseamnă găsirea curba integrală a ecuației (12,49), care este drept și se intersectează în unghiuri predeterminate.
Aceste condiții pot fi de asemenea reprezentate sub forma combinațiilor liniare corespunzătoare:
definirea unei probleme cu condiții de graniță mixtă, unde sunt date numere; în timp ce în fiecare pereche și, cel puțin unul dintre numere nu este zero.
.
Sensul geometric al problemei valorii limitei cu ultimele condiții limită: de a construi o curbă integrală a ecuației (12,49), care ar trece prin punctul și linia ar intersectează la un unghi.
3) este o cantitate limitată pentru u (condiții de tipul al treilea).
Dintre problemele legate de valoarea limită, problemele omogene de valoare limită sunt de o mare importanță, cu care, în special, este asociată cercetarea regimurilor intrinsece de mișcare a diferitelor sisteme fizice.
Problemele de valoare limită omogene sunt probleme pentru găsirea soluțiilor de ecuații diferențiale liniare omogene în condiții de graniță omogene.
Condițiile la limită se numesc omogene, dacă din faptul că funcția (soluție special) îndeplinesc aceste condiții, rezultă că orice combinație liniară îndeplinește, de asemenea, în aceleași condiții.
În special, condițiile limită (12.51) vor fi omogene. Evident, astfel de condiții sunt îndeplinite de o funcție care, în virtutea acestui fapt, este o soluție a problemei omogene a valorii limită. Cu toate acestea, soluția trivială este rareori de interes pentru cercetător și, cel mai adesea, sunt căutate soluții non-zero. Observăm că fiecare problemă omogenă de limită-valoare nu poate avea soluții non-zero în general sau are un număr infinit de ele. Această caracteristică a problemelor de valoare limită necesită o astfel de formulare a acestora, ceea ce asigură existența și, dacă este necesar, unicitatea soluției.
Să luăm în considerare un exemplu care are un sens bine aplicat.
Exemplul 1: Găsiți soluții ale ecuației diferențiale
satisfacerea condițiilor limită
Trimiteți-le prietenilor: