Reamintim că în teoria câmpurilor statice sunt introduse funcții auxiliare: potențialul scalar al câmpului electric și potențialul vectorial al câmpului magnetic astfel încât:
În electrodinamică, potențialele electrodinamice scalare și vectoriale sunt de asemenea introduse pentru a descrie câmpurile electromagnetice. Introducerea potențialului câmpului electromagnetic face posibilă facilitarea considerabilă a rezolvării unui număr de probleme electrodinamice. La începutul acestui capitol am afirmat deja că potențialele determină energia unei particule încărcate într-un câmp electromagnetic, puterea câmpului determină forța cu care câmpul acționează asupra particulei. Forța care acționează asupra unei particule care se deplasează în câmpuri electrice și magnetice este determinată de formula:
Unde Q este încărcătura de particule, v este viteza sa.
Formula (3.3.3) este numită formula Lorentz. Este utilizat pe scară largă în calculul dinamic al mișcării particulelor încărcate (electroni sau ioni) în câmpurile electrice și magnetice. La rezolvarea problemelor mecanicii cuantice, forțele care acționează asupra particulelor nu sunt de obicei luate în considerare. Pentru a calcula stările cuantice ale particulelor în câmpurile electrice și magnetice, se introduc potențialele electrodinamice scalare și vectoriale în ecuațiile corespunzătoare.
Rolul jucat de potențialele electrodinamică și mecanicii cuantice, este bine descrisă în menționat deja Feynman Lectures pe Physics (Volumul 6 „electrodinamică“ și este 9 „Quantum Mecanica“ ed., „Mir“, Moscova 1966 și 1967.).
Să analizăm modul în care potențialul este legat de vectorii de intensitate a câmpului electric și magnetic și găsim ecuațiile pe care le îndeplinesc aceste potențiale. Pentru aceasta folosim ecuațiile lui Maxwell.
Definim potențialul vectorial în același mod ca și pentru câmpurile statice (3.3.2). Înlocuind (3.3.2) în ecuația Maxwell:
Aceasta conduce la următoarea egalitate:
Folosind identitatea algebrei vectoriale, funcția din paranteze din (3.3.4) poate fi asimilată gradientului unor scalari.
Este rezonabil să presupunem că acest scalar este potențialul scalar al câmpului electric. Apoi, în cazul static, atunci când derivatul în raport cu timpul este zero, relația (3.3.5) devine relația deja acceptată (3.3.1).
Astfel, am învățat o expresie pentru intensitatea unui câmp electric care variază în funcție de timp:
Conform expresiei (3.3.6), puterea câmpului electric poate fi împărțită într-un vârtej și o parte potențială, iar partea vortexului apare numai în cazul câmpurilor care variază în timp.
Astfel, intensitatea câmpului și exprimat în termeni de potențiale electrodinamice și folosind relațiile (3.3.2) și (3.3.6), și pentru a descrie câmpurile electromagnetice este suficient pentru a ști 4 funcții potențiale și trei proeminențe.
ObŃinem ecuaŃii diferenŃiale pentru potenŃialele electrodynamice și. Pentru aceasta, ecuațiile lui Maxwell
Substituim expresiile (3.3.2) și (3.3.6)
Folosim relația binecunoscută a algebrei vectoriale :. Apoi (3.3.7) poate fi rescris după cum urmează:
Ecuațiile diferențiale (3.3.8) se referă la potențialele electrodynamice (u) la surse: sarcini și curenți (u).
Noi impunem o condiție suplimentară care ne permite să separăm ecuațiile pentru potențiale:
Această condiție (3.3.9) este numită condiția de calibrare Lorentz. Folosind gabaritul Lorentz, putem rescrie sistemul de ecuații (3.3.8) într-o formă mai simplă:
Aceste ecuații descriu aceleași procese fizice care descriu ecuațiile lui Maxwell. Sistemul de ecuații (3.3.10) este format din două ecuații. O astfel de separare ecuații justificate în mod fizic: inclus în ecuația pentru densitatea de curent, (surse de curent sunt câmpuri magnetice) și este inclus în ecuație pentru densitatea taxelor (taxele sunt surse și absorbanți de câmp electric). Ecuațiile (3.3.10) poate fi scris ca patru ecuații diferențiale scalare pentru potențialul aceeași formă pentru toate cele patru funcții. Când ecuațiile (3.3.10) devin ecuațiile de undă pentru vibrațiile armonice care iau forma:
În absența dependenței de timp, Ecuațiile (3.3.11) trec în ecuațiile magnetostaticelor și ecuațiilor lui Poisson
În absența surselor (și) ecuațiile Poisson sunt transformate în ecuațiile lui Laplace
În absența dependenței de timp, gabaritul Lorentz (3.3.9) are următoarea formă:
Și se numește "Calibration Coulomb".
La rezolvarea problemelor tehnologiei cu microunde, după cum a fost hotărât, este suficient să rezolvăm problema cu privire la una dintre cele patru funcții ale coordonatelor. Funcția selectată este un scalar, care simplifică foarte mult soluția ecuațiilor diferențiale utilizate. Subliniem aici că soluția ecuațiilor diferențiale necesită formularea condițiilor limită. În următoarele capitole ale cursului nostru, vom analiza diferitele structuri de ghiduri de undă și vom găsi proprietățile lor rezolvând ecuații diferențiale în ceea ce privește una dintre cele patru funcții ale coordonatelor menționate mai sus. În rezolvarea acestor probleme, vom formula condițiile limită necesare. După obținerea unei soluții cu privire la potențialul electrodinamic selectat, componentele vectorilor de câmp electric și magnetic pot fi găsiți folosind relațiile (3.3.2) și (3.3.6) date mai sus.
Un alt potențial vectorial
Atunci când se rezolvă unele probleme ale tehnologiei cu microunde, se știe în prealabil că un câmp electric are o natură vortex, adică un potențial scalar
J = 0. În plus, din (3.3.6) și (3.3.9) obținem:
Reamintind că div (curl) = 0, unde există o funcție vectorială arbitrară, putem concluziona că rezultă din (3.3.16) și (3.3.15) că
Aici vectorul este un potențial vector "electric" spre deosebire de potențialul vectorial tradițional "magnetic". Substituind (3.3.17) în ecuațiile lui Maxwell, constatăm că vectorul, ca și vectorul, satisface ecuația valurilor. Găsirea soluției ecuației de undă pentru unul dintre componentele Fx, Fy, Fz. găsim componentele vectorului de intensitate a câmpului electric cu ajutorul lui (3.3.17) și apoi a componentelor vectorului de intensitate a câmpului magnetic cu ajutorul ecuației Maxwell corespunzătoare. În anumite cazuri, utilizarea potențialului vectorial "electric" facilitează rezolvarea problemelor electrodinamice corespunzătoare.
Articole corelate
Trimiteți-le prietenilor: