Problema găsirii valorii exacte a unui integral integrat nu are întotdeauna o soluție. De fapt, în multe cazuri, antiderivativul integrantei nu poate fi reprezentat sub forma unei funcții elementare. În acest caz, nu putem calcula cu exactitate integritatea definită prin formula Newton-Leibniz. Cu toate acestea, există metode de integrare numerică care permit obținerea valorii unui integral integral cu gradul de acuratețe cerut. O astfel de metodă este metoda Simpson (se mai numește și metoda parabolei).
Navigați pe pagină.
Metoda parabolelor (Simpson) este esența metodei, formula, estimarea erorii, ilustrația.
Fie funcția y = f (x) continuă pe intervalul [a; b] și trebuie să calculăm un integral integrat.
Împărțim intervalul [a; b] cu n lungimi elementare de puncte. Fie ca punctele să fie punctele medii ale segmentelor, respectiv. În acest caz, toate "nodurile" sunt determinate din egalitate.
Esența metodei parabolelor.
La fiecare interval, integradul este aproximat printr-o parabolă patratică care trece prin puncte. De aici numele metodei este metoda parabolelor.
Aceasta se face pentru a lua ca valoare aproximativa a unui integrat definit, pe care il putem calcula prin formula Newton-Leibniz. Aceasta este esența metodei parabolelor.
Geometric arată astfel:
Grafica ilustrativă a metodei parabolelor (Simpson).
Linia roșie arată graficul funcției y = f (x). linia albastră arată aproximarea graficului funcției y = f (x) prin parabolele patrate pe fiecare segment elementar al partiției.
Derivarea metodei Simpson (parabola).
În virtutea celei de-a cincea proprietăți a integratului definitiv pe care îl avem.
Pentru a obține formula pentru metoda parabolei (Simpson), rămâne să calculam.
Fie (putem ajunge întotdeauna la acest lucru realizând transformarea geometrică a schimbului de schimb pentru orice i = 1, 2. n).
Arătăm că doar una parabola patratică trece prin punctele. Cu alte cuvinte, demonstrăm că coeficienții sunt determinați în mod unic.
Deoarece punctele unei parabole, fiecare dintre ecuațiile sistemului
Sistemul înregistrat al ecuațiilor este un sistem de ecuații algebrice liniare în raport cu variabile necunoscute. Determinantul matricei de bază a acestui sistem de ecuații este determinantul Vandermonde și este diferit de zero pentru punctele care nu coincid. Aceasta indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică (acest lucru este menționat în articol, soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare), adică coeficienții sunt definiți în mod unic, iar singura parabola patratică trece prin puncte.
Acum ne îndreptăm spre determinarea integralului.
Folosim aceste egalități pentru a efectua ultima tranziție în următorul lanț de egalități:
Astfel, putem obține formula pentru metoda parabolei:
Formula pentru metoda Simpson (parabola) este
.
Estimarea erorii absolute a metodei Simpson.
Eroarea absolută a metodei Simpson este estimată ca.
Exemple de calcul aproximativ al integralelor definite prin metoda Simpson (parabole).
Să analizăm aplicarea metodei Simpson (parabola) pentru calcularea aproximativă a integralelor definite.
De obicei, există două tipuri de sarcini:
- În primul caz, este necesar să se aproximeze integralul definit prin formula Simpson pentru un anumit n.
- În cel de-al doilea caz, ei sunt rugați să găsească o precizie (de exemplu, cu o precizie de o mie) valoarea aproximată a unui integral definit prin metoda Simpson (parabola).
Se ridică o întrebare logică: "Cu ce nivel de precizie se fac calcule intermediare"?
Răspunsul este simplu - precizia calculelor intermediare ar trebui să fie suficientă. Calculele intermediare trebuie efectuate cu o precizie de 3-4 ordine de mărime mai mare decât ordinea. De asemenea, precizia calculelor intermediare depinde de numărul n - cu cât este mai mare n. cu cât este mai precisă efectuarea calculelor intermediare.
Calculați un integral definitiv prin metoda lui Simpson, împărțind segmentul de integrare în 5 părți.
Din condiția în care știm că a = 0; b = 5; n = 5; .
Formula pentru metoda Simpson (parabola) are forma. Pentru aplicarea sa, trebuie să calculam pasul, să determinăm nodurile și să calculăm valorile corespunzătoare ale integrand.
Calculele intermediare vor fi efectuate cu o precizie de patru semne (rotunjite la a cincea cifră).
Deci, calculați pasul.
Trecem la noduri și valori ale funcției în ele:
Pentru claritate și comoditate, rezultatele sunt rezumate în tabel:
Înlocuim rezultatele obținute în formula pentru metoda parabolei:
Am luat în mod deliberat un integral definitiv, care poate fi calculat din formula Newton-Leibniz pentru a compara rezultatele.
Rezultatele sunt aceleași cu o sută.
Calculați integralul definit prin metoda lui Simpson cu o precizie de 0,001.
În exemplul nostru, a = 0 ..
Mai întâi trebuie să definim n. Pentru a face acest lucru, ne referim la inegalitatea de estimare a erorii absolute a metodei Simpson. Putem spune că dacă găsim n. pentru care inegalitatea va fi satisfăcută, folosindu-se metoda parabolei pentru calcularea integratului definitiv inițial, eroarea absolută nu depășește 0,001. Ultima inegalitate poate fi rescrisă în formă.
Să vedem ce valoare maximă este luată de modulul celui de-al patrulea derivat al integrand pe segmentul de integrare.
Intervalul funcției este un interval, iar segmentul de integrare conține punctele extreme.
Înlocuim valoarea găsită în inegalitate și o rezolvăm:
Deoarece n este un număr natural (acesta este numărul de segmente divizate de segmentul de integrare), putem lua n = 10, 11, 12, ... Pentru a evita efectuarea calculelor inutile, vom lua n = 10.
Acum funcționăm ca în exemplul anterior. În calculele intermediare, rotunjirea se va face în a șasea ordine.
Gasim nodurile si valorile integrand in ele:
Rezultatele calculelor sunt combinate într-un tabel:
Substituim valori în formula metodei parabola:
Astfel, conform metodei Simpson, se obține o valoare aproximativă a integrității definite cu o precizie de 0,001.
Într-adevăr, dacă calculam integralul original prin formula Newton-Leibniz, obținem
Găsirea în multe cazuri este dificilă. Puteți face acest lucru fără a aplica o abordare alternativă a utilizării metodei parabola. Principiul său este descris în secțiunea metodei trapezoidale. așa că nu vom repeta.
Ce metodă este folosită pentru integrarea numerică?
Acuratețea metodei Simpson (parabola) este mai mare decât acuratețea metodei dreptunghiurilor și trapezoidelor pentru un anumit n (acest lucru se poate vedea din estimarea erorii absolute), astfel încât utilizarea sa este preferabilă.
Ar trebui să ne amintim despre influența erorii de calcul asupra rezultatului pentru nul mare. care pot întârzia valoarea aproximativă de la valoarea exactă.
Trimiteți-le prietenilor: