Scop. aflați cum să aplicați formule de multiplicare redusă atunci când rezolvați exemple, repetați materialul.
Plan:- Cuvinte cheie.
- Dovada formulei pentru suma cuburilor.
- Exemple.
- Repetiție.
- Exemple cu explicații
- Tema.
Cuvinte cheie: pătratul sumei, pătratul diferenței, cubul sumelor, cubul diferenței, diferența dintre pătrate, suma cuburilor, diferența dintre cuburi.
Pătratul din suma a două cantități este egal cu pătratul primului plus produsul dublat dintre primul și cel de-al doilea plus pătratul celui de-al doilea (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Pătratul diferenței a două cantități este egal cu pătratul primei minus produsul dublat al primului cu al doilea plus pătratul celui de-al doilea. (a-b) 2 = a2-2ab + b2
Produsul din suma a două cantități prin diferența lor este egal cu diferența dintre pătratele lor. (a + b) (a-b) = a2-b2
Cubul din suma a două cantități este egal cu cubul primului plus produsul triplut al pătratului primului cu al doilea plus produsul triplut al primului în pătrat al celui de-al doilea plus cubul celui de-al doilea. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
Cubul diferenței a două cantități este egal cu cubul primului minus produsul triplut al pătratului dintre primul și cel de-al doilea plus produsul triplut al primului în pătratul celui de-al doilea, minus cubul celui de-al doilea. (a-b) 3 = a3-3a2b + 3ab2-b3
Produsul din suma a două cantități de către pătratul incomplet al diferenței este egal cu suma cuburilor lor. (a + b) (a 2 -ab + b 2) = a 3 + b 3
Produsul diferenței a două cantități cu pătratul incomplet al sumei este egal cu diferența dintre cuburile lor (A-b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3
Foarte des, reducerea unui polinom la o formă standard poate fi realizată prin aplicarea unor formule de multiplicare redusă. Toate acestea sunt demonstrate prin divulgarea directă a parantezelor și prin reducerea acestor termeni. Formulele de multiplicare prescurtată trebuie să fie cunoscute pe bună dreptate.
Un exemplu. Dovediți formula a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2).
Soluția. Avem (a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 - a 2 b + ab 2 + ba 2 - ab 2 - b 3. Colectarea termeni similari, vedem că (a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3. Aceasta dovedește formula dorită.
Un exemplu. Simplificați expresia (2 x 3 - 5 z) (2 x 3 + 5 z).
Soluția. Folosim formula de diferență pentru pătrate, obținem: (2 x 3 - 5 z) (2 x 3 + 5 z) = (2 x 3) 2 - (5 z) 2 = 4 x 6 - 25 z 2.
Răspuns. 4 x 6 - 25 z 2.
Pentru a descompune un polinom în factori înseamnă a-l reprezenta ca produs al unor polinoame simple.
Există câteva moduri de descompunere:
Punerea factorului comun în paranteze
Algoritmul pentru găsirea multiplicatorului comun al mai multor monomiale
Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților tuturor monomialelor din polinom - acesta va fi un factor numeric comun (desigur, acest lucru se aplică numai în cazul coeficienților întregi).
Găsiți variabilele care intră în fiecare membru al polinomului și alegeți pentru fiecare dintre ele exponentul cel mai mic (disponibil).
Produsul coeficientului găsit în prima etapă este un factor comun, care este recomandabil să se ia din paranteze.
Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților tuturor monomialelor din polinom - acesta va fi un factor numeric comun (desigur, acest lucru se aplică numai în cazul coeficienților întregi).
Găsiți variabilele care intră în fiecare membru al polinomului și alegeți pentru fiecare dintre ele exponentul cel mai mic (disponibil).
Produsul coeficientului găsit în prima etapă este un factor comun, care este de dorit să fie scos din paranteze.
Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților tuturor monomialelor din polinom - acesta va fi un factor numeric comun (desigur, acest lucru se aplică numai în cazul coeficienților întregi).
Găsiți variabilele care intră în fiecare membru al polinomului și alegeți pentru fiecare dintre ele exponentul cel mai mic (disponibil).
Produsul coeficientului găsit în prima etapă este un factor comun, care este de dorit să fie scos din paranteze.
Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților tuturor monomialelor din polinom - acesta va fi un factor numeric comun (desigur, acest lucru se aplică numai în cazul coeficienților întregi).
Găsiți variabilele care intră în fiecare membru al polinomului și alegeți pentru fiecare dintre ele exponentul cel mai mic (disponibil).
Produsul coeficientului găsit în prima etapă este un factor comun, care este de dorit să fie scos din paranteze.
Un algoritm pentru factorizarea unui polinom în multiplicatori- Grupați termenii săi astfel încât termenii din fiecare grup să aibă un factor comun.
- Realizați în fiecare grup un factor comun sub forma unui monomial dincolo de paranteze.
- Pentru a efectua în fiecare grup nou un factor comun (sub forma unui polinom) în paranteze
Extinderea polinomului în multiplicatori prin utilizarea unei combinații de tehnici diferite
În matematică, nu este adesea folosirea unei singure metode pentru a rezolva un exemplu, mai des există exemple combinate în care o tehnică este folosită mai întâi, apoi pe alta și așa mai departe. Pentru a rezolva cu succes astfel de exemple, nu este suficient să cunoaștem tehnicile în sine, trebuie să putem totuși să elaborăm un plan pentru aplicarea lor consecventă. Cu alte cuvinte, este nevoie nu numai de cunoaștere, ci și de experiență. Vom examina astfel de exemple combinate.
Multiplicați polinomul 36a6b3-96a4b4 + 64a2b5
În primul rând, să luăm multiplicatorul total din paranteze. Luați în considerare coeficienții 36, 96, 64. Toți sunt împărțiți la 4.
DUMNEZEU (36,96,64) = 4. În toți membrii polinomului este o variabilă a (respectiv a6, a4, a2), astfel încât să putem lua parantezele a2. Toți membrii polinomului includ variabila b (respectiv b3, b4, b5) - b3 poate fi scoasă din brațe.
Deci, să luăm 4a2b3 pentru paranteze.
2) Luați în considerare trinomialul în paranteze: 9a4-24a2b + 16b2. Să vedem dacă este un pătrat complet. Avem:
9a 4 - 24a2b + 16b2 = (3a2) 2 - 2a3a2,4b + (4b) 2.
Toate condițiile din piața completă sunt îndeplinite, prin urmare,
9a 4 - 24a 2b + 16b2 = (3a2-4b) 2.
3) Prin combinarea a două metode (luând factorul comun ca paranteze și utilizând formule de multiplicare redusă), obținem rezultatul final:
36a 6b3 -96a 4b4 + 64a 2b5 = 4a2b3 (3a2-4b) 2.
Extindeți polinomul 36a 6b 3 -96a 4b 4 + 64a 2b 5
Soluție (intrare scurtă)
36a 6 b 3 -96a 4 b 4 + 64a 2 b 5 = 4a 2 b 3 (9a 4 -24a 2b + 16b2) = 4a2b3 (3a2-4b) 2
Combinăm două metode:- plasarea factorului comun în paranteze;
- utilizarea formulelor de multiplicare redusă.
Extindeți polinomul un 2 - c 2 + b 2 + 2ab
Combinăm două metode:- grup;
- utilizarea formulelor de multiplicare scurtate
Înmulțiți polinomul y 3 - 3y 2 + 6y - 8
Încercați să o rezolvați
Combinați trei pași:- grup;
- formule de multiplicare prescurtată;
- punerea factorului comun în paranteze.
Combinând diferite tehnici
Ordinea de aplicare a diferitelor metode atunci când polinomul este înmulțit cu factori
Încercați să descompuneți polinomul în multiplicatori folosind formule de multiplicare redusă.
"Puneți multiplicatorul comun pentru bracket (dacă există).
Consultați "și încercați să evidențiați pătratul complet.
Încercați să aplicați metoda de grupare (dacă metodele anterioare nu au dus la atingerea scopului).
În spatele paginilor din manualul de algebră
O ecuație cuadratoare este o ecuație a formei: ax 2 + bx + c = 0 (unde a = 0)
Un polinom de forma: ax 2 + bx + c este un trinomial patrat.
Coeficienții: a, b, c (unde c este un termen liber)
Alocarea 1. Factorul x 2 + 5x-6, folosind metoda de transformare preliminară.
Atenție vă rog! Divideri ai unui membru gratuit.
Extindeți x 3 + 2x 2 -5x-6 utilizând metoda de pre-transformare.
Atenție vă rog! Divideri ai unui membru gratuit.
Extindeți factorii n 3 + 3n 2 + 2n
În primul rând, folosim faptul că n poate fi scos din paranteze: n (n 2 + 3n + 2). Acum aplicăm metoda de grupare la trinomial n 2 + 3n + 2, prezentând anterior 3n ca 2n + n. Avem:
n 2 + 3n + 2 = n 2 + 2n + n + 2 = (n 2 + 2n) + (n + 2) = n (n + 2) + (n + 2) = (n + 2) (n + 1).
Sarcină: încercați să faceți un scurt exemplu de înregistrare
Metoda de selectare a pătratului complet
Un exemplu este de a determina un trinomial pătrat x 2 -6x + 5
Folosim transformarea preliminară. acordând atenție clasei libere +5. Separatoarele 5: + 1, -1, + 5, -5.
Imaginați -6x = -x + (-5x) și apoi aplicați metoda de grupare:
(x-1) = (x-1) (x-1) 5).
Aplicăm metoda de extragere a unui pătrat complet. pentru aceasta atragem atenția asupra produsului dublat 6x = 2 * x * 3.
Prin urmare, pătratul complet va fi valabil pentru cele două expresii x și 3.
x 2 -6x + 5 = (x 2 -2 x 3 + 32) -32 + 5 = (x 2 -6x + 9) -9 + 5 = (x 2 -6x + 9) -4 = (x -3) 2 -22 = (x-3-2) (x-3 + 2) = (x-5) (x-1)
Am învățat să folosim o combinație de tehnici diferite pentru factorizarea unui polinom. Am încercat să dezvoltăm un plan de aplicare în practică.
Când am factorizat polinomul, am folosit următoarele metode:- plasarea factorului comun în paranteze;
- gruparea, inclusiv utilizarea transformării preliminare;
- utilizarea formulelor de multiplicare prescurtată;
- alocarea unui pătrat complet;
- combinarea diferitelor tehnici.
Tema. 645, 654, 648 (c, d).
Trimiteți-le prietenilor: