Punctele de referință în studiul funcțiilor și construirea graficelor lor sunt puncte caracteristice - puncte de discontinuitate, extremum, inflexiune, intersecție cu axele coordonatelor. Folosind calculul diferențial se pot stabili trăsături caracteristice ale schimbării funcțiilor: creșterea și scăderea, maxima și minima, direcția convexității și concavității grafului și prezența asimptotilor.
Schița graficului funcției poate (și ar trebui să fie) schițată după găsirea punctelor asimptote și extremum, iar tabelul rezumat al investigației funcției este convenabil pentru a completa cursul studiului.
De obicei, se utilizează următoarea schemă de cercetare funcțională.
2. Investigați funcția de paritate sau ciudățenie (simetrie axială sau centrală a graficului.
3. Gasiti asimptote (verticale, orizontale sau inclinate).
6. Gasiti punctele de intersectie ale curbei cu axele coordonatelor, daca exista.
7. Compilați un tabel rezumat al studiului.
8. Programul este construit, ținând seama de cercetarea funcției, efectuată în conformitate cu punctele descrise mai sus.
Un exemplu. Explorați funcția
și să construiască programul ei.
1. Domeniul funcției este linia întregului număr. Setul de valori al unei funcții date, precum și al oricărei funcții exponențiale, este intervalul 0, + ∞ [. Prin urmare, graficul funcției este situat deasupra axei Ox.
2. Reamintim: din cursul școlii se știe că o funcție y = f (x) se numește chiar dacă
pentru toate x. aparținând domeniului de definire a unei funcții.
Graficul unei funcții uniform este simetric în raport cu axa Oy. deoarece prin definiție, împreună cu oricare dintre punctele sale (x; y), conține, de asemenea, un punct (-x; y).
Funcția y = f (x) se spune a fi ciudată dacă
pentru toate x. aparținând domeniului de definire a unei funcții.
Graficul unei funcții ciudate este simetric cu privire la origine, deoarece, prin definiție, împreună cu oricare dintre punctele sale (x; y), conține și un punct (-x; -y).
Funcția noastră investigată este încă de atunci
graficul său este simetric față de axa Oy. Prin urmare, studiul poate fi efectuat numai pentru] 0, + ∞ [.
3. Nu există asimptote verticale pentru grafic, deoarece funcția este continuă pe întreaga linie de număr. Asimptotul orizontal este axa Ox. deoarece
Deoarece curba are un asimptote orizontală pe două fețe y = 0. nu poate avea asimptote înclinate.
Deoarece, atunci când trece prin valoarea x = 0, schimbăm semnul de la plus la minus, atunci funcția la punctul x = 0 merge de la mărire la scădere, iar (0; 1) este punctul maxim. Tangenta la curba la acest punct este orizontala, deoarece
Luând în considerare paritatea funcției, investigăm semnele din vecinătatea numai a punctului
Prin urmare, pentru x = 1, curba modifică convexitatea la concavitate. deoarece
punctul de inflexiune al curbei. Coeficientul unghiular al tangentei în curbă în acest punct
prin urmare, la punctul de inflexiune, tangenta formeaza un unghi obtuz cu axa Ox.
6. Graficul nu intersectează axa Ox. deoarece este situat deasupra acestuia. Să găsim punctele de intersecție a curbei cu axa Oy. setarea x = 0. avem
Astfel, obținem punctul (0; 1) al graficului, care coincide cu punctul maxim.
7. Să compilem un tabel rezumat al studiului funcției, în care vom adăuga toate punctele caracteristice și intervalele dintre ele. Având în vedere paritatea funcției, obținem următorul tabel:
Trimiteți-le prietenilor: