Definiția antiderivativei și a proprietăților sale
Lăsați funcția să fie dată la un anumit interval. Dacă există o astfel de funcție. că pentru toate avem egalitate
atunci funcția se numește antiderivativă pentru o funcție.
Exemplu 1.1 Luați în considerare o funcție pe întreaga axă numerică - într-un interval. Apoi funcția este primitivă.
Pentru dovada, găsim derivatul:
Deoarece egalitatea este adevărată pentru toți. apoi - antiderivativul pentru.
O definiție similară va fi dată și pentru cazul în care funcția este dată nu pe un interval, ci pe unirea mai multor intervale disjuncte:
Noi numim funcția antiderivativă pentru. dacă pentru toate egalitatea deține.
Reguli de bază ale integrării.
1. Funcția este derivată din semnul diferențialului.
exemplu:
2. Introducerea funcției sub semnul diferențialului.
. în cazul în care. și anume este antiderivativă.
exemplu:
[Să găsim funcția antiderivantă]
Linia de fund:
Integrarea prin punerea sub semnul diferenței
Este necesar să țineți minte cele mai simple transformări ale diferențialului
Un integral integrat este numit un integru necorespunzător. dacă este îndeplinită cel puțin una dintre următoarele condiții:
- Limita a sau b (sau ambele limite) este infinită;
- Funcția f (x) are unul sau mai multe puncte de discontinuitate în intervalul [a, b].
deci, prin definiție. Dacă această limită există și este finită, integrala se numește convergentă; Dacă limita nu există sau este infinită, se spune că integramentul este divergent.
O ecuație diferențială este o ecuație care corelează valoarea derivatului unei funcții cu funcția însăși, cu valorile variabilei independente, cu numerele (parametrii). Ordinea derivaților care intră în ecuație poate fi diferită (formal, nu se limitează la nimic). Derivații, funcțiile, variabilele și parametrii independenți pot intra în ecuație în diferite combinații sau toate, cu excepția cel puțin unui derivat, nu sunt deloc prezente. O ecuație diferențială de ordin mai mare decât prima poate fi transformată într-un sistem de ecuații de ordinul întâi, în care numărul de ecuații este egal cu ordinea ecuației inițiale.
Ecuația cu variabile separate este o ecuație diferențială a formei
f (x) dx + g (y) dy = 0
cu funcții continue f (x) și g (y).
unde C este o constantă arbitrară, determină integrarea generală a ecuației cu variabile separate.
Condiția inițială pentru ecuația f (x) dx + g (y) dy = 0 poate fi dată sub forma y (x 0) = y 0 sau sub forma x (y 0) = x 0.
Ecuația cu variabile de separare este o ecuație diferențială a formei
Funcțiile f 1 (x), g 1 (y), f 2 (x), g 2 (y) sunt continue în domeniile lor de definiție și g 1 (y) f 2 (x) ≠ 0.
Împărțind ambele părți ale ecuației cu produsul non-zero g 1 (y) f 2 (x), obținem o ecuație cu variabile separate
Integralul general al acestei ecuații are forma
Ecuația Bernoulli este una dintre primele ecuații diferențiale de ordin neliniar întâi cunoscute. Este scrisă în forma în care a (x) și b (x) sunt funcții continue. Dacă m = 0, atunci ecuația Bernoulli devine o ecuație liniară diferențială. În cazul în care m = 1, ecuația este transformată într-o ecuație cu variabile de separare. In general, atunci când m ≠ 0, 1, ecuația lui Bernoulli se reduce la o ecuație diferențială liniară prin substituirea nouă ecuație diferențială pentru z (x) are forma și funcția poate fi rezolvată prin metodele descrise la pagina ecuație diferențială liniară de ordinul întâi.
Găsiți soluția generală a ecuației y '- y = y 2 e x. Soluția. Pentru o anumită Bernoulli ecuație m = 2, și de aceea face substituția Diferențierea ambele părți ale ecuației (y variabilă este considerată o funcție complexă de x), putem scrie: diviza ambele părți ale ecuației diferențiale inițiale în y 2. Substituirea z și z“. găsim: Am obținut o ecuație liniară pentru funcția z (x). Am rezolvat prin utilizarea unui factor de integrare: Soluția generală a ecuației liniare exprimată prin formula Revenind la functia y (x), obținem răspunsul în formă implicită: care poate fi scrisă sub forma: Rețineți că, atunci când împărțirea ecuației pentru y 2 am pierdut soluția y = 0. Ca urmare, răspunsul complet este scris ca:
Ecuații diferențiale non-omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți
Structura soluției generale O ecuație liniară neomogenă de acest tip are forma: unde p. q sunt numere constante (care pot fi reale sau complexe). Pentru fiecare astfel de ecuație, putem scrie ecuația omogenă corespunzătoare. Teorema. Soluția generală a ecuației neomogene este suma dintre y0 soluție generală (x) sootvetstvuyushaya ecuație omogenă și o anumită soluție y1 (x) din ecuația neomogenă: Aici ne uităm la două moduri de a rezolva ecuații diferențiale neomogene. Dacă metoda de variație a soluției generale a y0 ecuație omogenă asociată este cunoscută, soluția generală a ecuației neomogene pot fi găsite folosind metoda de variație a parametrilor. Lăsați soluția generală a ecuației omogene diferențiale de ordinul doi este: În loc C1 constantă și C2 sunt considerate funcții auxiliare C1 (x) și C2 (x). Vom căuta aceste funcții astfel încât soluția să satisfacă o ecuație neomogenă cu partea dreaptă f (x). Funcție necunoscută C1 (x) și C2 (x) sunt determinate de sistemul de două ecuații: Metoda coeficienților nedeterminați din partea dreapta a lui f (x) este adesea ecuație diferențială neomogenă este un polinom, funcția exponențială sau trigonometric, sau o combinație a acestor funcții. În acest caz, este mai convenabil să căutați soluția utilizând metoda coeficienților nedeterminate. Subliniem că această metodă funcționează numai pentru o clasă de funcții delimitată pe partea dreaptă, cum ar fi- unde Pn (x) și Qm (x) sunt polinoame de gradul n și m. respectiv.
Definiția antiderivativei și a proprietăților sale
Lăsați funcția să fie dată la un anumit interval. Dacă există o astfel de funcție. că pentru toate avem egalitate
atunci funcția se numește antiderivativă pentru o funcție.
Exemplu 1.1 Luați în considerare o funcție pe întreaga axă numerică - într-un interval. Apoi funcția este primitivă.
Pentru dovada, găsim derivatul:
Deoarece egalitatea este adevărată pentru toți. apoi - antiderivativul pentru.
O definiție similară va fi dată și pentru cazul în care funcția este dată nu pe un interval, ci pe unirea mai multor intervale disjuncte:
Noi numim funcția antiderivativă pentru. dacă pentru toate egalitatea deține.
Reguli de bază ale integrării.
1. Funcția este derivată din semnul diferențialului.
exemplu:
2. Introducerea funcției sub semnul diferențialului.
. în cazul în care. și anume este antiderivativă.
exemplu:
[Să găsim funcția antiderivantă]
Linia de fund:
Articole similare
-
Mushroom veselka fotografie, descriere, proprietăți medicinale
-
Semnificația erorii cuvântului este definirea cuvântului eroare
Trimiteți-le prietenilor: