copie
1 Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Sucursala Bauman Kaluga I.N. Radchenko SCHEMA DE VALORI MEDIE A VALORILOR FIZICE Instrucțiuni metodice pentru desfășurarea unui seminar 4 privind cursul fizicii generale 1
UDC: 539. BBC.314: .37 P15 Reporter: Cand. Sci. Sci., Profesor asociat, Departamentul de Fizică Generală, KSU AS Kozhevnikov Aprobat de Comisia metodică a MSTU din Kazan. NE Bauman (protocolul 6 din 4.1.1) P15 Radchenko I. N. Găsirea valorilor medii ale cantităților fizice. instrucțiuni metodice pentru desfășurarea unui seminar 4 privind cursul fizicii generale. M. Editura MSTU. NE Bauman, p. ISBN Instrucțiunile metodologice conțin o parte teoretică dedicată definiției cantităților fizice folosind abordarea probabilistică și calculul operatorului. Instrucțiunile sunt destinate profesorilor și studenților de la al doilea an de toate specialitățile Universității Tehnice de Stat din Moscova. NE Bauman. UDC: 539. ББК.314: .37 Radchenko I.N. 14 Publisher MSTU ISBN-le. NE Baumana, 14
dacă ($ this-> show_pages_images $ page_num doc ['images_node_id'])
4 1. MĂSURĂRILE ÎN MECANICA CUVANTĂ. PROBABILISTICĂ. Valorile medii ale procesului de măsurare a cantităților fizice orice cantitate fizică (energie, impuls, și m. P.) Caracterizînd starea microparticulelor (sau orice alte sisteme cuantice) asociate cu interacțiunea microparticulelor cu dispozitive macroscopice, determinarea acestei mărimi fizice. Prin urmare, abordarea rezultatelor măsurării cantităților fizice în mecanica cuantică este fundamental diferită de cea a mecanicii clasice și are un caracter probabilistic, statistic. Pe de altă parte, starea unui sistem cuantic este descrisă în mod unic și complet printr-o funcție de undă care conține informații despre toți parametrii fizici ai unei stări date a unui sistem cuantic. Evident, rezultatele determinării oricărei cantități fizice trebuie să fie corelate cu funcția de undă. Care va fi rezultatul măsurării unei anumite cantități fizice pentru o microparticulă într-o stare cuantică dată, adică atunci când funcția de unde ψ (x, yzt.) Este cunoscută? Luați în considerare procesul de determinare a unui parametru fizic al unui sistem cuantic într-o serie de experimente identice. Două cazuri sunt posibile: 1. Pentru unele stări cuantice ale sistemului, măsurătorile cantității fizice f într-un număr de experimente oferă același rezultat de fiecare dată (desigur, cu erorile experimentale luate în considerare). În acest caz se vorbește despre o valoare definită a cantității fizice f într-o stare cuantică dată, care se numește eigenstate a operatorului ˆΦ corespunzând cantității măsurabile f. Așa cum am menționat deja, rezultatul măsurării cantității fizice f poate fi numai valorile proprii ale operatorului corespunzător ˆÎn acest caz, sistemul cuantic este într-o stare descrisă de funcția de undă.
5 ea ψ, care este neapărat una dintre funcțiile proprii ale operatorului ˆF. Există stare cuantică, atunci când o serie de măsurători efectuate în aceleași condiții, de fiecare dată când dă valori diferite f1, f, și t. D. Apoi, noi spunem că valoarea fizică f are o anumită valoare, iar când sa măsurat o anumită probabilitate se obține din spectrul valorilor proprii ale operatorului ˆF. In acest caz, putem calcula probabilitatea de a obține un rezultat P f, știind că putem determina valoarea medie a f = Pf și deviația standard (dispersie) (f) f. funcția (x, yzt.) Valul ψ al unei astfel de stări cuantice nu este o funcționare proprie a operatorului ˆȘi starea sistemului poate fi reprezentată ca o suprapunere a eigenstatelor acestui operator. Pentru a determina probabilitatea P de obținere a valorii lui f, folosim faptul că orice funcție de val (x) poate trăi într-o serie de funcții proprii (x) ψ care pot fi separate de către operator ˆΦ (proprietatea de completitudine a sistemului de funcții proprii ale operatorilor hermitici): ψ x = c Ψ x () (). Coeficienții c sunt determinați din condiția ortonormalității pentru funcțiile proprii ale operatorilor hermitici. Se multiplică ultima expresie cu ψ m (x) și se integrează în întreaga regiune * a variabilei x. În partea dreaptă a întregii cantități va fi doar un singur termen la = m: .. * * Ψ ψ x dx = c ψ ψ x dx = m, adică, c () () mm * (x) dx și c = ψψ () = ψ ψ x dx. 5
6 6 Probabilitatea P de obținere a valorii f este definită ca * = =, P c c c și valoarea medie a valorii măsurate f pentru un număr mare de măsurători. f = Pf = c f Transformăm această expresie astfel încât, cunoscând forma operatorului cuantic ˆФ, care corespunde valorii fizice a f, a fost posibilă calcularea valorii sale medii f. În acest scop, înlocuim expresia coeficientului c * în formula pentru determinarea valorilor medii: * f = c f = c c f = () () * = c f ψ ψ x dx = c ψ x ψ f dx. deoarece ˆΦ = f ψ, atunci () * f = c Ψ x ˆΦ dx. De la operator ˆF este liniar, r. E. Rezultatul acțiunii sale asupra funcției superpoziției este o superpoziție a rezultatelor de acțiune în mod individual funcții pot contribui la coeficienții însumare c sub integralei. Apoi, luând în considerare liniaritatea operatorului ˆΦ obtinem * * f (x) Φˆ = () Φ ˆ ψ cx dx = ψ x ψ (x) dx. Astfel, am obținut o expresie pentru determinarea valorii medii a unei anumite cantități fizice f de la funcția de undă cunoscută a stării cuantice și forma operatorului cuantum corespunzător ˆF.
7 Exemple de rezolvare a problemelor. Problema 1. Funcția de undă care descrie o particulă are forma A e r a ψ =, r unde A și a sunt unele constante; r este distanța dintre particula și centrul de forță. Determinați pătratul mediu al distanței r a particulei la centrul forței. Soluția. Prin definiție, valoarea medie a cantității fizice este în cazul în care dv = 4 π dr. Atunci () r = r ψ r dv, A ra () 4 4 rr = r ψ r π r dr = re π r dr = 3 ra π 4 a πa 3 = 4π A dr re = 4 π A = A. 3 răspunde. r = A. πa Problema. Folosind condiția de normalizare probabilitate, defini factorul de normalizare A A funcției de undă ψ e ra = Ra particule cuantice (r distanța particulei de centru forță, a este o constantă), iar distanța medie a particulelor r la centrul de putere. Soluția. Condiția de normalizare a probabilității pentru funcția ψ: V A ra dv dv r dr (r) e ψ = 1; = 4 π; ψ =. r 7
Înlocuindu-ne cu ψ (r), obținem: ra ra 4π ra r A 4π r dr = 4π A e dr = A ae = 4π A a = 1 și apoi 1 A =. πa Distanța medie la centrul forței: luând în considerare r ra () 4 πar r = r ψ r dv = e π r dr = xe ra 1 a = re dr a = = a a kx dx =! (k) + 1. () 1 Răspuns. A = πa, r = a /. Problema 3. normalizate funcțiile de undă ale particulelor într-o formă dreptunghiulară potențial „gaură“ one-dimensional în lățime l c infinit mari „ziduri“ au ψ formă π (x) = si x, l l unde k = 1. Se definește o valoare medie a coordonatelor x a particulei. Soluția. Prin definirea valorii medii a cantității fizice l () x = x ψ x dx. Substituind ψ (x) în această expresie, obținem:
9 l π 1 π l x = xsi x dx = x 1 cos x dx =. l l l l l Răspundeți. x =. Sarcini pentru auto-soluționare. Problema 4. Funcția de undă care descrie starea de bază a unui electron într-un atom de hidrogen are forma ψ = Ae ra, 3 unde A = 1 π a este o anumită constantă; r este distanța dintre electron și nucleu; și prima rază Bohr. Determinați valoarea medie a pătratului distanței r a electronului la nucleu în starea de bază. Răspuns. r = 3 a. Problema 5. Funcția de undă care descrie o particulă are forma 3 3 () ψ =, Ae r a unde A = 1 π a este coeficientul de normalizare; a este ceva constant; r este distanța dintre particule față de centrul forței. Determinați distanța medie r la centrul forței. un răspuns. r =. π Problema 6. Funcția de undă care descrie starea de bază a unui electron într-un atom de hidrogen are forma 1 ra ψ 1 = e, 3 πa unde r este distanța de electroni de la nucleu; și prima rază Bohr. Găsiți pentru starea de bază a atomului de hidrogen valoarea medie F a modulului de forță Coulomb. 9
10 Răspunsul. F e = πε a. Problema 7. Funcția de undă normalizată care descrie starea 1s a unui electron într-un atom de hidrogen are forma 3 ψ = Ae ra, unde A = 1 π a este factorul de normalizare; r este distanța dintre electron și nucleu; și prima rază Bohr. Găsiți valoarea medie U a energiei potențiale a electronului în câmpul nucleului. e Răspuns. U =. 4 πε a Problema 8. Particula este într-un "unghi" de lățime l în prima stare excitat, într-un unidimensional, adânc dreptunghiular. Găsiți pătratul mediu al impulsului particulelor p. Răspuns. p 4π =. l 1
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: