Metoda axiomatică a apărut în Grecia antică și este acum folosită în toate științele teoretice, în special în matematică.
Metoda axiomatică de construire a unei teorii științifice este după cum urmează. conceptele de bază sunt separate, axiomele teoriei sunt formulate și toate celelalte afirmații sunt deduse logic, bazându-se pe ele.
Conceptele de bază se disting după cum urmează. Se știe că un concept trebuie explicat cu ajutorul altora, care, la rândul lor, sunt determinate și cu ajutorul unor concepte cunoscute. Astfel, ajungem la concepte elementare care nu pot fi determinate prin intermediul altora. Aceste concepte sunt numite de bază.
Când dovedim declarația, teorema, atunci ne bazăm pe premisele deja dovedite. Dar aceste premise au fost de asemenea dovedite, trebuie să fie justificate. În cele din urmă, ajungem la declarații nedovedite și le acceptăm fără dovezi. Aceste afirmații se numesc axiome. Setul de axiome trebuie să fie astfel încât, pe baza acestuia, este posibil să se demonstreze declarații suplimentare.
După ce am selectat conceptele de bază și am articulat axiomele, atunci derivăm teoreme și alte concepte într-un mod logic. Aceasta este structura logică a geometriei. Axiomele și conceptele de bază formează baza planimetriei.
Deoarece este imposibil să se dea o singură definiție a conceptelor de bază pentru toate geometrii, conceptele de bază ale geometriei ar trebui definite ca obiecte de orice natură care satisfac axiomele acestei geometrii. Astfel, sub construcția axiomatică a unui sistem geometric, procedăm dintr-un anumit sistem de axiome sau axiomatice. În aceste axiome, sunt descrise proprietățile conceptelor de bază ale unui sistem geometric și putem reprezenta conceptele de bază sub formă de obiecte de orice natură care posedă proprietățile indicate în axiome.
După formularea și demonstrarea primelor afirmații geometrice, devine posibilă dovedirea unor afirmații (teoreme) cu ajutorul altora. Dovezile multor teorii sunt atribuite lui Pythagoras și Democritus.
Hippocrates Chiosky este creditată cu compilarea primului curs sistematic de geometrie bazat pe definiții și axiome. Acest curs și prelucrarea ulterioară au fost numite "Elemente".
Apoi, în secolul al III-lea. BC în Alexandria a apărut cartea lui Euclid cu același nume, în traducerea rusă a "Începutului". Din denumirea latină "Începuturi" a apărut termenul "geometrie elementară". În ciuda faptului că scrierile predecesorilor lui Euclid nu au ajuns la noi, putem să formăm o opinie asupra acestor lucrări despre "Elementele" Euclidului. În "Începuturile" există secțiuni logic foarte puțin asociate cu alte secțiuni. Aspectul lor este explicat doar prin faptul că acestea sunt introduse conform tradiției și copiază "Elementele" predecesorilor lui Euclid.
Elementele "Euclid" constau din 13 cărți. 1 - 6 cărți sunt dedicate planimetriei, 7 - 10 cărți - despre valori aritmetice și incomensurabile, care pot fi construite cu ajutorul unei busole și a unui conducător. Cărțile 11-13 au fost consacrate stereometriei.
# 9; "Început" începe cu prezentarea a 23 definiții și 10 axiome. Primele cinci axiome sunt "concepte generale", restul sunt numite "postulate". Primele două postulate definesc acțiuni cu ajutorul unui conducător ideal, al treilea cu o busolă ideală. Al patrulea, "unghiurile drepte sunt egale între ele", este inutil, deoarece poate fi derivat din axiomele rămase. Ultima, a cincea
postulați citit. „În cazul în care o linie dreaptă care se încadrează pe două linii drepte de interior si cu un singur sens colțuri în valoare de mai puțin de două unghiuri drepte, apoi, pentru o prelungire nelimitată a acestor două linii, acestea se intersectează pe acea parte, în cazul în care unghiurile mai puțin de două unghiuri drepte.“
Cele cinci "concepte comune" ale Euclid sunt principiile de măsurare a lungimilor, unghiurilor, pătratelor, volumelor. „Egal cu unul și același egal unul cu altul“, „dacă egali adăuga egal, sumele sunt egale“, „dacă este egal ia resturilor egale sunt egale“, „împerechere unii cu alții sunt egale între ele“, „un număr întreg mai mare parte ".
Apoi a început să critice geometria Euclidului. Euclid criticat din trei motive. pentru faptul că a considerat numai astfel de cantități geometrice care pot fi construite cu ajutorul unei busole și a unui conducător; pentru faptul că a rupt geometria și aritmetica și a dovedit pentru întregi ceea ce a dovedit deja pentru cantitățile geometrice și, în sfârșit, pentru axiomele euclideene. Cel de-al cincilea postulat, cel mai dificil postulat al lui Euclid, a fost cel mai puternic criticat. Mulți consideră că este inutil și că poate și ar trebui să fie derivat din alte axiome. Alții credeau că ar trebui înlocuită cu o simplă și mai grafică, echivalentă cu ea. "Într-un punct în afara unei linii drepte se pot desena în planul lor nu mai mult de o linie care nu intersectează linia dată".
Critica decalajului dintre geometrie și aritmetică a condus la o extindere a conceptului de număr la un număr real. Litigiile cu privire la al cincilea postulat a condus la faptul că, la începutul secolului al XIX-lea de către NI Lobachevsky, J. Bolyai, și KF Gauss a construit o nouă geometrie în care toate axiomele geometriei euclidiene, cu excepția a cincea postulatul. El a fost înlocuit de declarația opusă. "Într-un avion printr-un punct în afara unei linii, puteți desena mai multe linii drepte care nu intersectează linia dată". Această geometrie era la fel de consistentă ca geometria Euclidului.
Modelul de planometrie Lobachevsky pe avionul euclidian a fost construit de matematicianul francez Henri Poincare în 1882.
Pe planul euclidian trasează o linie orizontală (a se vedea figura 1). Această linie este numită absolută (x). Punctele avionului euclidian situate deasupra absolutului sunt puncte ale avionului Lobachevsky. Avionul Lobachevsky este o jumătate de avion deschis deasupra absolutului. Segmentele non-euclideene din modelul Poincaré sunt arce de cercuri cu centru pe segmentele absolute sau drepte. perpendicular pe absolut (AB, CD). Cifra de pe avionul Lobachevsky este cifra unei jumătăți plane aflate deasupra absolutului (F). O mișcare neeclidiană este o compoziție a unui număr finit de inversiuni centrate pe simetriile absolute și axiale ale căror axe sunt perpendiculare la absolut. Două segmente non-euclideene sunt egale dacă unul dintre ele poate fi tradus în altul prin mișcare neeclidiană. Acestea sunt conceptele de bază ale axiomaticilor de planimetrie ale lui Lobachevsky.
Toate axiomele planimetrice Lobachevsky sunt consecvente. Definiția direcției urmează. "O linie dreaptă non-euclidiană este un semicerc cu terminații pe absolută sau o rază cu un început pe absolut și perpendicular la absolut". Astfel, afirmarea axiomei paralelismului lui Lobachevsky este satisfăcută nu numai pentru unele linii a și punctul A. care nu se află pe această linie, dar și pentru orice linie a și orice punct A care nu se află pe ea (a se vedea figura 2).
# 9, Alte geometrii non-contradictorii au apărut dincolo de geometria lui Lobachevsky. Euclidiană separate geometria proiectivă, a dezvoltat o geometrie euclidiana multi-dimensionale, există geometrie Riemanniană (teoria generală a spațiilor cu o măsurare a lungimii arbitrară), etc. Din știința cifrelor în același tridimensional euclidian geometria spațiului. 40 - 50 de ani, a devenit o colecție de diverse teorii numai ceva asemănător cu strămoșul său - geometria Euclidului.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: