De la definirea convergenței secvenței \ >>> la punctul a rezultă că pentru orice ε> 0 o întreagă lungime a acestei secvențe poate fi acoperită cu un interval de 2 ε, cu excepția faptului că poate exista un număr finit de elemente ale acesteia dacă mijlocul intervalului este plasat în punctul a. Reversul este, de asemenea, adevărat. dacă secvența \ >>> este de așa natură încât pentru orice ε> 0 putem acoperi întreaga secvență, cu excepția faptului că poate exista un număr finit de elemente, plasând centrul unui interval într-un anumit punct, apoi el converge.
Teoremă (criteriul Cauchy). Pentru ca secvența \ >>> convergență, este necesar și suficient ca aceasta să fie fundamentală.
∀ p ∈ N | x n + p - x n | ≤ | x n + p - x |<2 ε. ∀ n> N (ε) -x_ \ mijlocul \ leq \ mid x_-x \ mid <2\varepsilon ,\forall n>N (\ varepsilon)>
Deoarece secvența este fundamentală, ∀ ε> 0 ∃ x N>. în e-cartierul căruia există toate elementele după x 1. x 2. x 3. x N-1, x_, x_. X_>.
În segmentul [A, -A] conține toate elementele secvenței, adică \ >>> este limitată.
Datorită teoremei Bolzano-Weierstrass (x ¯; x _>; >>) <( x n − ε ; x n + ε -\varepsilon ;x_+\varepsilon> ).
Trimiteți-le prietenilor: