Teorema de multiplicare pentru probabilitățile evenimentelor independente.
Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente este egală cu rezultatul probabilităților acestor evenimente:
Corolar: Probabilitatea apariției mai multor evenimente independente în agregat este egală cu rezultatul probabilităților acestor evenimente.
Un exemplu. Există trei cutii în fiecare dintre care sunt pe bile. În primul sertar de bile roșii, în a doua - în a treia - a bilelor roșii. Din fiecare cutie la întâmplare scoateți o minge. Găsiți probabilitatea ca toate cele trei bile eliminate să devină roșii.
Soluția. Semnează evenimentul constând în faptul că toate cele trei bile eliminate se dovedesc a fi roșii. Evenimentul se va întâmpla dacă bilele roșii (eveniment) sunt extrase din sertarul I și din II - roșu (eveniment) și din III - roșu (eveniment), adică - produsul evenimentelor; și.
Probabilitatea ca o minge rosie sa fie luata din sertarul I:
Probabilitatea ca o minge rosie sa fie luata din al doilea sertar:
Probabilitatea ca o minge rosie sa fie luata din caseta III:
pentru că evenimente; și independentă în ansamblu, atunci probabilitatea necesară:
Un exemplu. Două mâini trag la țintă. Probabilitatea de a atinge ținta cu o singură lovitură pentru primul shooter, pentru cel de-al doilea shooter. Fiecare shooter a produs o lovitură. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:
Ambele mâini vor atinge ținta;
Ambele lipsesc săgeata;
Doar un singur shooter lovește ținta;
Cel puțin unul va lovi țintă.
Soluția. 1) Denumiți evenimentul constând în faptul că ambele săgeți vor atinge ținta. Evenimentul se va întâmpla dacă primul shooter lovește ținta și al doilea loveste.
Folosim teorema multiplicării probabilităților unor evenimente independente:
2) Semnează evenimentul constând în faptul că ambele săgeți lipsesc. Evenimentul se va întâmpla în cazul în care primul aruncător nu reușește, iar cel de-al doilea este pierdut.
Probabilitatea unei pierderi pentru primul shooter.
Probabilitatea unei pierderi pentru mâna a doua.
3) Denumiți evenimentul constând în faptul că un singur shooter atinge ținta. Evenimentul va avea loc dacă: (primul shooter lovește ținta și cel de-al doilea eșuat) sau (primul shooter pierde ținta și cel de-al doilea hit).
4) Un eveniment, cel puțin un shooter, atinge ținta, este evenimentul opus - ambele lipsesc:
Lăsați evenimentele și cele dependente.
O probabilitate probabilistică este probabilitatea unui eveniment calculat pe baza ipotezei că un eveniment a avut deja loc.
Teorema de multiplicare pentru probabilitățile evenimentelor dependente.
Probabilitatea apariției comune a două evenimente dependente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele de probabilitatea condiționată a celui de-al doilea:
Corolar: Probabilitatea apariției în comun a mai multor evenimente dependente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele de probabilitățile condiționale ale tuturor celorlalte și probabilitățile fiecărui eveniment ulterior sunt calculate presupunând că toate evenimentele anterioare au apărut deja.
unde este probabilitatea evenimentului, calculat pe ipoteza că au avut loc evenimentele "...".
Un exemplu. Într-o cutie de bile: albastru și galben. Au scos o minge din cutie și apoi o altă minge (fără a le întoarce). Găsiți probabilitatea ca prima minge luată să fie albastră, iar cea de-a doua să fie galbenă.
Soluția. Evenimentul este prima minge luată este albastră. Probabilitatea evenimentului :.
Evenimentul este cea de-a doua minge galbenă. Probabilitatea evenimentului, calculată pe presupunerea că prima minge este albastră (adică probabilitatea condiționată) este:.
Probabilitatea cerută de teorema de multiplicare pentru probabilitățile unor evenimente dependente este:
Formula probabilității totale. Formula Bayes
Lăsați evenimentul să apară când apare unul dintre evenimentele incompatibile, ... care formează un grup complet. Să se cunoască probabilitățile acestor evenimente și probabilitățile condiționale, ... evenimente. În aceste condiții, probabilitatea unui eveniment poate fi găsită prin formula:
formula se numește formula de probabilitate totală;
evenimentele, ..., se numesc ipoteze.
Exemplul 1. Controalele primesc piese de la două mașini. Productivitatea mașinilor nu este aceeași. Prima mașină produce toate piesele, pe a doua -. Probabilitatea căsătoriei pe prima mașină, pe a doua -. Găsiți probabilitatea ca elementul primit pentru inspecție să fie defect.
Soluția. Eveniment - elementul primit pentru inspecție este defect.
și - evenimente care înseamnă că piesa este realizată respectiv pe prima și a doua mașină.
Apoi, de condiția problemei:
Lăsați evenimentul să apară când se formează unul dintre evenimentele incompatibile (ipoteze), ..., care formează un grup complet. Dacă evenimentul a avut deja loc, probabilitățile ipotezelor pot fi supraestimate de formulele Bayes:
unde - este găsit de formula probabilității totale.
EXEMPLUL 2 În condițiile din exemplul 1, partea verificată s-a dovedit a fi defectă. Stabiliți probabilitatea ca aceasta să fi fost făcută pe prima mașină.
Soluția. Probabilitatea dorită este probabilitatea ca piesa să fie făcută pe prima mașină, cu condiția să se știe deja că partea este defectă.
Prin formula Bayes:
Arta similara:
Teoria probabilităților și statisticii matematice (7)
Buldyk G.M. Teoria probabilității și a statisticilor matematice. - Mn. Școala superioară, 1989. Wenzel E.S. Teoria probabilității. - M. Nauka, 1969. Kremer N.Sh. Teoria probabilității și a statisticilor matematice. - UNITATEA M.
Teoria probabilităților și statisticii matematice (6)
și de credit »Test de lucru Postul:" Teoria probabilității și statisticile matematice "Varianta №8 Completat: Nr de carte de înregistrare. distribuția f (x); b) probabilitatea de lovire a unei variabile aleatoare X în intervalul (a, b); c) așteptările matematice și varianța acestora.
Disciplina matematică. Teoria probabilității și a statisticilor matematice
TEORIA DE PROBABILITATE ȘI STATISTICI MATEMATICE 4.1. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu ................ ................... 17 4.2. Probabilitate condiționată. Suplimentarea și teoremele de înmulțire 22 4.3. Probabilitatea totală. Formula.
Metodele teoriei probabilității și statisticii matematice în studiul singularităților stilistice
literatura citată: "TEORIA PROBABILITĂȚII ȘI A STATISTICILOR MATEMATICE". Literatura principală: A. A. Borovkov. Teoria probabilității. M.-Nauka, 1988. BA Sevastyanov. Cursul teoriei probabilității și statisticilor matematice. M.- Știință.
Teoria probabilității (10)
TEORIA PROBABILITĂȚII 4 5 1.1. EVENIMENTE RANDOM. PROBABILITATEA EVENIMENTULUI 5 1.2. TEORIILE COMPOZIȚIEI ȘI MULTIPLICAREA PROBABILITĂȚILOR 8 1.3. FORMULA DE PROBABILITATE COMPLETĂ. PROBLEME 60 1. TEORIA PROBABILITĂȚII 1.1. EVENIMENTE RANDOM. PROBABILITATEA EVENIMENTULUI Se numește un eveniment.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: