Metoda simplă de iterație pentru sistemele de ecuații liniare

Metoda simplă de iterație permite obținerea unei secvențe de valori aproximative, convergând la o soluție exactă a sistemului.
Transformăm sistemul (3.1) în forma normală:






. (3.2)
Partea din dreapta a sistemului (3.2) definește maparea:
, transformând punctul unui spațiu metric într-un punct al aceluiași spațiu.
După alegerea unui punct de plecare, este posibilă construirea unei secvențe iterative de puncte ale unui spațiu n-dimensional:
În anumite condiții, această secvență converge.
Astfel, pentru a studia convergența unor astfel de secvențe, se folosește principiul contractării mapărilor, care constă în următoarele.
Dacă F este o mapare de contracție definită într-un spațiu metric complet cu o metrică, atunci există un punct fix unic astfel încât. Aici secvența de iterație, obținută cu ajutorul hărții F cu orice termen inițial x (0). converg la.
Estimarea distanței dintre punctul fix al hărții F și aproximația x (k) este dată de formulele:
(3.3)
unde # 945; Factorul determinat de condițiile suficiente pentru compresibilitatea hărții F.






Valoarea multiplicatorului # 945;. Aceasta este determinată de alegerea metricului în care se verifică convergența secvenței de valori.
Considerați condiții suficiente pentru convergența secvenței de iterație.
În practică, pentru a aplica metoda iterației, sistemul de ecuații liniare este convenabil "scufundat" într-una din următoarele trei valori:
(3.4)
Pentru ca reprezentarea F. dată într-un spațiu metric prin relațiile (3.2) să fie contractivă, este suficientă una dintre următoarele condiții:
a) într-un spațiu cu metrica: adică maximul sumelor modulelor coeficienților din partea dreaptă a sistemului (3.2), luată de-a lungul rândurilor, trebuie să fie mai mică decât unitatea.
b) într-un spațiu cu metrica: adică maximul sumelor modulului coeficienților din partea dreaptă a sistemului (3.2), preluat asupra coloanelor, ar trebui să fie mai mic decât unitatea.
c) în spațiul cu metrica :. adică, suma pătratelor pentru necunoscute din partea dreaptă a sistemului (3.2) trebuie să fie mai mică decât unitatea
Exemplul 3.1. Calculați două aproximări prin metoda simplă iterație. Estimați eroarea celei de-a doua aproximări. Ca aproximație inițială, alegeți.

Deoarece elementele diagonale ale sistemului sunt predominante, aducem sistemul în forma normală:

Vom căuta aproximări succesive prin formule:

Avem:
, .
Pentru a estima eroarea din cadrul metricei, calculam coeficientul # 956;
.
Calculăm eroarea:

Regulile de introducere a datelor

Adresați-vă întrebările sau lăsați-vă dorințele sau comentariile în partea de jos a paginii în secțiunea Disqus.
De asemenea, puteți lăsa o solicitare de ajutor în rezolvarea activității de control cu ​​partenerii noștri de încredere (aici sau aici).







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: