Curs 4

Curs 4. Supragravitate

Ne putem aștepta ca în teoria gauge supersimetric supersimetriei curenților sunt sursele de domenii: energie-impuls tensorul - o sursă de curent gravitoni, de spin-vector - sursa de spin 3/2 particule. În consecință, formularea supergravității va necesita cel puțin un câmp de spin 2 și un câmp de spin de 3/2; o astfel de teorie poate fi într-adevăr construită. O vom dezvolta cu ajutorul metodelor generale de geometrie diferențială.

tetrad generalizat introdus ca variabilă independentă, precum și conexiunea forma Obiectivul nostru principal este de a găsi ecuațiile de covarianță care minimizează numărul de componente independente ale câmpurilor la o singură rotire și un câmp de 2 - 3/2 de spin. În ceea ce privește transformările generale de coordonate

E și Φ se transformă după cum urmează;

Acum este necesar să alegem un grup structural, sub acțiunea căruia se transformă forma tetradică și forma de conectivitate după cum urmează:

Știm că este nevoie de valori în algebra Lie. Pentru a reduce, pe cât posibil, numărul de domenii independente, noi

alegem cel mai mic grup structural posibil - grupul Lorentz însuși. Parametrii de transformare sunt funcții arbitrare ale lui. Cu această alegere, matricea conține doar 6 suprafețe independente. Prima și a doua ecuație structurală determină torsiunea și curbura:

Forma de curbură, de asemenea, ia valori în algebra Lie. Mai exact, aceste ecuații sunt scrise în formă

Pentru a ne imagina cumva natura ecuațiilor pe care le căutăm, calculați torsiunea pentru un spațiu plat: Avem

Toate celelalte componente ale torsiunii sunt zero. Se poate încerca postularea acestor ecuații și pentru cazul general:

componentele rămase sunt zero. Pentru alegerea grupului de structură aceste ecuații sunt covariante. Cu toate acestea, putem demonstra că au o soluție unică - un spațiu plat. Prin urmare, este necesar să ne slăbim ecuațiile. Linearizarea ecuațiilor câmpului prin substituire

și, evident, rezolvarea acestora, se poate demonstra că din ecuații

doar relațiile algebrice urmează. Aceasta reduce numărul de câmpuri independente dinamice exact la un câmp de rotire 2 și unul la rotire 3/2. Dar ecuațiile complete, non-linearizate pot fi rezolvate. Puteți argumenta așa. Noi alegem

Un ecart special în care tetradul și conectivitatea ia forma

determină dinamica în x-spațiu.

Observăm că componentele de torsiune nu au fost încă determinate. Egalitatea la zero ar însemna că avem de-a face cu un spațiu plat. lăsa

- torsiune cu indicatori mondiali Din ecuațiile noastre este posibil să se obțină

Vedem asta în calibrarea noastră specială

Aceasta conectează torsiunea în spațiul 4 cu densitatea de rotație a câmpului Rarita-Schwinger. Data viitoare

unde este necesar să se exprime prin tetrad și conectivitate în virtutea primei ecuații structurale:

Componenta de interes este

deoarece ia valori în algebra Lie. În calibrarea pe care am ales-o, obținem

Aici a apărut un derivat covariantic obișnuit al spațiului. Calculele suplimentare necesită identitatea lui Bianchi

În detaliu, ele pot fi scrise în următoarea formă:

unde derivatul covariantic, de exemplu

Nu intenționez să scriu toate componentele acestor identități - este posibil să nu le mulțumim editorilor. Voi da doar pe cele care mi-ar fi de folos în această prelegere. Am pus componentele de torsiune corespunzătoare egale cu zero, obținem

deoarece are valori în algebra Lie, iar grupul nostru Lie este un grup Lorentz. Pentru această ecuație în ecartul ales de noi e ecuația lui Rarita-Schwinger. De fapt, cu

Aceasta este ecuația lui Rarita-Schwinger. Pentru a deriva ecuațiile lui Einstein, avem nevoie de următoarele relații:

Relația rezultă din identitatea (2); rezultă din următoarele și din (3). Rămâne să demonstrăm Din (6) vedem că antisimetric în și y, prin urmare

De aici urmează în acest fel,

Din (6) și proprietatea (algebra Lie) rezultă că

Trebuie să deducem din aceasta.Am folosit din nou faptul că are nevoie de valori în algebra Lie:

și din

Din acest și din (7) obținem

Din această relație, proprietățile și (7) rezultă din aceasta

unde este complet simetric. Aceasta, la rândul său, înseamnă asta

Acum arătăm cum se obține ecuația Einstein din relații. Avem

Din ecuația structurii găsim

Prin urmare, când ajungem

Este tensorul obișnuit al curburii spațiului. Pe de altă parte,

deoarece de la următoarea Când folosim, de asemenea, obținem

Acum folosim matricea inversă la tetrad și relațiile în notația evidentă a spațiului

obținem ecuația lui Einstein

Amintiți-vă că am obținut egalitate

Astfel, avem ecuațiile dinamice ale supergravitatie, adică ecuația lui Einstein, ecuația Raritate - .. Schwinger și legătura dintre torsiune și densitatea de spin sub forma, pentru prima dată și a primit Deser Zumino în articolul lor pe

supergravitatie. Am obținut acest rezultat folosind doar geometria superspace.

Vreau să-i mulțumesc lui Richard Grimm pentru discuții utile și pentru citirea manuscrisului.

Curs 4

Curs 4. Supragravitate

denumiri

LITERATURA LITERATURA

Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: