Capitolul IV. Linii drepte și planuri în spațiu. poliedre
§ 54. Proiecția ortogonală a figurilor
Considerăm un anumit plan p și un punct M. Proiecția ortogonală a punctului M pe planul p este baza M0 a perpendicularului față de planul p. trasată prin punctul M (figura 157). Planul p este numit planul de proiecție în acest caz.
Există un perpendicular unic față de planul p. realizat printr-un anumit punct. Prin urmare, pentru fiecare punct al spațiului, există o proiecție ortogonală unică M0 a acestui punct pe planul dat. În special, dacă M p. apoi Mo = M.
În cele ce urmează, pentru scurtcircuit, vorbind despre proiecții ortogonale, vom folosi de obicei termenul de "proiecție", omiterea cuvântului "ortogonal".
Proiecția liniei l pe planul p este setul de puncte ale planului p. care sunt proiecții ale punctelor din această linie.
Să analizăm câteva proprietăți ale proiecțiilor liniilor pe un avion.
1) Dacă linia l nu este perpendiculară pe planul de proiecție, atunci proiecția sa pe acest plan este o linie dreaptă.
Dacă linia l se află în planul p. atunci această afirmație este evidentă.
Să presupunem că linia l nu se află în planul p și lăsați M0 să fie proiecția punctului M care aparține lui l și care nu aparține lui p. pe planul p (Figura 158).
Prin liniile l și M0 M tragem planul q. Planurile p și q sunt perpendiculare pe perpendicularitatea plană. În consecință, linia l1 = pq este proiecția liniei l pe planul p.
Rezultă că proiecțiile razei și segmentului (nu perpendiculare pe planul p) reprezintă raza și, respectiv, segmentul. Dacă l este perpendicular pe p. atunci, prin definiție, proiecția lui l pe p este un punct (punctul de intersecție a liniei l și a planului p).
Din această proprietate rezultă că definiția generală a proiecției unei linii pe un plan nu contrazice definiția unei proiecții înclinate spre un plan.
2) Dacă linia l este paralelă cu planul de proiecție, atunci este paralelă cu linia l1. care este proiecția lui.
Într-adevăr, dacă am tras prin liniile l și l1 planul q (fig.159), obținem l1 = pq Prin urmare, l1 || l.
Prin urmare, rezultă că proiecția unui segment paralel cu planul de proiecție este un segment congruent pentru un anumit.
3) Proiecțiile a două linii paralele care nu sunt perpendiculare pe planul de proiecție sunt linii drepte paralele.
Fie planul q să treacă prin linia l și proiecția lui l '. și q1 prin linia l1 și proiecția lui l'1 (Figura 160). Planurile q și q1 sunt paralele, deoarece sunt perpendiculare pe planul p și trec prin linii paralele l și l1. Dar apoi ... Sunt linii de intersecție a planurilor paralele q, q1 de către planul p.
Rezultă că proiecțiile liniilor intersectate (care nu se află într-un plan perpendicular pe planul p) se intersectează.
4) Raportul dintre lungimile proeminențelor a două segmente paralele, nu perpendiculare pe planul de proiecție, pe acest plan este egal cu raportul dintre lungimile segmentelor proiectate.
În loc de aceste segmente, putem lua în considerare segmente care sunt congruente pentru aceasta, situate pe o linie. Și din moment ce linia și proiecția ei aparțin aceluiași plan, afirmația rezultă din teorema privind segmentele proporționale din plan.
Proiecția F pe planul p este setul de puncte care sunt proiecțiile punctelor lui F în acest plan.
Problema 1. Desenați proiecția triunghiului ABC pe planul dat p.
Dacă planul I \ ABC (p1) nu este perpendicular pe planul p. atunci proiecția triunghiului ABC pe acest plan este un triunghi A1 B1 C1 (proiecția segmentului este un interval) (Figura 161).
Dacă p1 _ | _ p. atunci proiecția triunghiului dat ABC pe planul p este un segment
A1 C1 (figura 162).
Problema 2. Una dintre diagonalele rombului ABCD este perpendiculară pe planul dat p. Care este proiecția acestui diamant pe acest avion?
Să presupunem că [BD] _ p (figura 163).
Apoi, planul rombului ABCD (p1) este perpendicular pe planul p. iar proiecția [A1 C1] a diagonalei AC va aparține l = p1p.
Prin proprietatea rombului [AC] _ | _ [BD]. de condiția (BD) _ | _ p; prin definirea unei linii drepte perpendiculare pe plan, (BD) _l. Apoi punctele B, D și punctul O al intersecției diagonalelor sunt proiectate la punctul B1 (D1) al segmentului C1 C1. Prin urmare, proiecția ABCD romb pe planul p este segmentul A1 C1.
Tehnologia UCoz este utilizată
Trimiteți-le prietenilor: