Potențial perturbativ, anomalii gravitationale. Condiție limitată pentru potențialul de perturbare. Probleme externe și interne ale valorii limită a lui Dirichlet și Neumann, probleme de valoare de graniță mixtă. Determinarea înălțimilor geoidului prin metoda Stokes. Funcția Stokes. Determinarea deflecțiilor de plumb. Formule Wening-Meines.
8.1 Potențialul de perturbare
Printre specialiștii în geodezie ridicată, termenul de perturbare a potențialului este utilizat pe scară largă. ca fiind diferența dintre potențialele reale și cele normale la un moment dat. Nu se poate spune că termenul are succes. În mecanica cerească, se folosește adesea forța de perturbare. funcția de forță perturbatoare, perturbații. Se pune întrebarea: ce anume este această forță perturbativă? Pentru mecanica cerească răspunsul este clar - legea mișcării corpului, o face diferită de Keplerian, neperturbată. Este adevărat că terminologia școlilor de mecanică celesteană de la Moscova și Sankt-Petersburg variază. Moscoviții spun că funcția este deranjantă, iar Petersburgii sunt perturbații. Deci, ceea ce "supără" potențialul deranjant? Răspunsul nu este nimic. Se pare că austriac dreapta G. Moritz, care propune introducerea termenului de potențial anomalie. Spunem anomalia gravitației. ținând cont de diferența dintre gravitatea reală și cea normală! Dar tributul tradiției, vom folosi termenul de perturbator potențial exact ca diferența dintre potențialul gravitational real și cel normal sau atracția luată în același punct.
Luați în considerare un punct de pe suprafața geoidului - suprafața echipotențială - coordonate, în cazul în care punctul de înălțime geodezic (distanța de la nivelul suprafeței la elipsoidală) Cu alte cuvinte, acest punct în înălțime geoidului. Celelalte două coordonate sunt latitudinea și longitudinea geodezică (a se vedea lecția 2, secțiunea 2.3). Pe suprafața unui elipsoid, vom desemna un punct cu aceleași valori de latitudine și longitudine cu litera. Este clar că înălțimea acestui punct este zero. Gravitatea la punct.
Greutatea normală la punctul:
În primul termen, diferențiem potențialul de-a lungul normalei exterioare la geoid, iar în cel de-al doilea la elipsoid. În general, aceste două direcții nu coincid. Adevărat, diferența nu este mare și eroarea este numai, adică magnitudinea ordinii deviației pătrată a liniei plumb. Acest lucru este substanțial mai mic decât compresia în formă brută, astfel încât în aproximarea noastră nu se poate face o diferență în direcțiile liniei verticale și a celei normale la elipsoid.
"Reduceți" valoarea forței de gravitație de la punct la punct, aplicând formulele de aproximare liniară
Gradientul vertical al gravitației, așa cum am văzut (vezi. Curs 7, ecuația (7.12)) depinde de secțiunile normale ale razelor de curbură și viteza unghiulară de rotație a Pământului
unde este distanța sferică dintre punct și elementul suprafeței sferice. Acum reprezentăm partea dreaptă a lui (8.6), care definește condiția limită. Pentru potențialul de perturbare, expansiunea este valabilă, unde
În soluția clasică a acestei probleme, numită problema Stokes, se presupune că masa elipsoidului este egală cu masa reală Pământului, care este, ca origine coincide cu centrul de masă al planetei Din aceasta rezultă că extinderea potențialului perturbator începe cu:
Neglijând pătratul contracției, diferențiazăm din nou în raport cu normalul prin diferențierea în raport cu vectorul de rază
Rețineți că, atunci când ar trebui să fie
Astfel, pentru ca soluția problemei Stokes să existe, este necesar ca valoarea medie a anomaliilor gravitaționale mixte să fie zero și, în plus, integralele trebuie să dispară. Acum soluția problemei valorii limită pentru potențialul perturbator ia forma
Înlocuim formularul integral (8.14) pentru funcțiile Laplace:
Deoarece integrarea este peste sfera de rază din formula (8.16), am presupus. Introducem notația
iar soluția problemei Stokes ia forma finală
Funcția este adesea numită funcția Stokes. În (8.17), el este dat sub forma unei extinderi a puterilor polinomilor Legendre din cosinusul distanței centrale. Forma sa "compactă" este următoarea
Este ușor de văzut că punctul este unic. Există funcția Stokes tinde la infinit, cu toate acestea, integrală (8.18) este convergentă, dar atunci când cele de mai sus două condiții care trebuie îndeplinite anomalii gravitaționale. Folosind formula (8.1), care se numește adesea formula Bruns. din potențialul de perturbare este ușor de obținut înălțimea geoidului
Linia verticală (verticală) coincide cu direcția vectorului gravitațional g.
Este normal la suprafața plană. Pe de altă parte, normalul față de elipsoid coincide cu direcția vectorului gravitației normale. Acești doi normali nu coincid. Se formează un unghi între ele, pe care geodeștii îl numesc abaterea liniei de plumb. Nu va fi o eroare în a spune abaterea liniei plumb. Adevărul apare problema abaterii de la ce? Pentru a evita astfel de întrebări, vom folosi termenul geodezic.
Doi menționat normale, extins în sus să intersecteze o sferă cerească imaginară în punctele, dintre care unul ar fi zenit astronomice (sau zenitul), iar celălalt - cel geodezic. Este clar că planurile orizontalelor astronomice și geodezice nu coincid. Am fost de acord să considerăm abaterile de plumb ca pozitive dacă zenitul se schimbă în direcția nord sau est.
Să ne îndreptăm spre sistemul de coordonate geodezice locale cu originea în punctul de observare (punct). Orizii orizontale PX și PY. după cum știm din prelegerea 7, se află într-un plan perpendicular pe normal până la elipsoid. Unul dintre ele este îndreptat spre nord, celălalt spre est. Axa PZ este direcționată în jos de-a lungul normalului interior către elipsoid. Nu este greu de înțeles că, cu componente pozitive "orizontale" ale vectorului gravitațional, ambele componente ale deviației plumb-in vor fi negative. Prin urmare, componentele deviației plumbului în planul meridianului și al primului vertical sunt determinate după cum urmează
Se observă din formulele date că ambele componente sunt cantități fără dimensiuni, deși în practică ele sunt măsurate în unități unghiulare. Faptul că evaziunea fir cu plumb pe Pământ este un al doilea de arc, astfel încât în loc de formule trigonometrice privind evaziunea verticalizare cu componentele vectorului de gravitație, avem o atitudine simplă.
Pe de altă parte
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: