Pentru un calcul aproximativ al sumei S dintr-o serie convergentă, presupunem. neglijând restul. Pentru a estima eroarea permisă în acest caz, trebuie să estimați restul.
Eroarea absolută în înlocuirea sumei unei serii S cu suma ei parțială Sn este egală cu modulul restului seriei.
Dacă doriți să găsiți suma din serie în interior # 949;> 0. atunci trebuie să luăm suma unui astfel de număr n din primii termeni ai seriei, astfel încât inegalitatea să rămână.
Dacă sunt date două serii convergente pozitive definite. unde un <вn . то ряд называется мажорирующим рядом по отношению к ряду .
Teorema 1. (Estimarea restului seriei de semne pozitive).
Restul seriei majoritare Rm este întotdeauna mai mare sau egal cu restul principalului
Teoremă 2. Pentru o serie convergentă pozitiv-definită a cărei termeni sunt monotonici
scade de la (n + 1) -th, următoarea estimare a restului
. unde f (x) este funcția utilizată în criteriul integral Cauchy.
Teorema 3. (Estimarea restului seriei alternante).
Să se dea o serie absolut convergentă. Apoi, valoarea absolută a acesteia
Reziduul n-a lui Rn nu depășește restul n-lea din serie. compus din
valorile absolute ale termenilor acestei serii.
Teorema 4. (Estimarea restului seriei alternante).
Dacă seria alternativă converge pe baza lui Leibniz, atunci n-a
restul în valoare absolută nu depășește prima dintre cele eliminate
Exemplul 1. Se calculează suma seriei cu 0,1.
Soluția. Estimăm restul seriei de Teorema 2 ..
Dacă luăm primii 10 termeni ai seriei, atunci restul. (cu o precizie de 0,1).
Exemplul 2. Se calculează suma seriei cu 0,1.
Soluția. Luați în considerare seria auxiliară. care se majorează pentru seria originală. Aceasta este o evoluție geometrică descrescătoare cu numitorul q = 1/5, deci convergentă. Prin urmare, prin Teorema 1, restul seriei originale este mai mic decât restul seriei auxiliare:
Prin urmare, trebuie să luăm suma primilor trei termeni ai seriei:
(exact la 0,002)
Exemplul 3. Se calculează suma seriei până la 0,01.
Soluția. Această serie converge pe baza Leibniz, prin urmare.
Pentru n = 1 obținem.
Pentru n = 2 obținem.
Pentru n = 3 obținem.
Obținem că pentru a calcula suma unei serii cu o anumită precizie este suficient să luăm primii trei termeni ai seriei, eroarea în calcul este determinată de al patrulea termen. așa
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: