Acest lucru este confirmat de următorul exemplu.
Primer2.9.1. Aplicați starea Stodola la circuitul din Fig. 2.9.2.
Funcția de transfer a sistemului de reacție negativă a sistemului deschis într-un circuit este egală cu și ecuația caracteristică a unui sistem închis este suma numărătorului și numitorului,
Deoarece nu există niciun termen cu p la prima putere (a1 = 0), condiția Stodola nu este satisfăcută și sistemul este instabil. Acest sistem este instabil din punct de vedere structural, deoarece pentru orice valoare a parametrilor k1 și k2 nu poate fi stabilă.
Pentru a face sistemul stabil, trebuie să introduceți o legătură suplimentară sau o legătură corectivă, adică schimba structura sistemului. Să arătăm pe exemple. În Fig. 2.9.3. legătura lanțului drept este reprezentată de legăturile conectate consecutiv cu funcțiile de transfer și. În paralel cu prima introducere, o legătură suplimentară.
Funcția de transfer a unui sistem deschis pe o singură legătură negativă și ecuația caracteristică a unui sistem închis sunt, respectiv,
Acum condiția Stodola este satisfăcută pentru orice. Deoarece în cazul unei ecuații de gradul doi este nu numai necesar, ci și suficient, sistemul este stabil pentru orice factor de câștig pozitiv.
În figura 2, 9.4, în circuit este introdusă o legătură secvențială forțată. Funcția de transfer a sistemului de cuplare negativă negativă a unității deschisă în circuit în acest caz este egală cu și ecuația caracteristică a sistemului închis este
Similar cu cel precedent, sistemul este stabil pentru orice pozitiv.
Criteriul de stabilitate al lui Rauss-Hurwitz
Matematicienii Rauss (Anglia) și Hurwitz (Elveția) au dezvoltat acest criteriu aproximativ în același timp. Diferența a fost în algoritmul de calcul. Vom cunoaște criteriul din formula Hurwitz.
Structura determinantului Hurwitz este ușor de reținut dacă luăm în considerare faptul că coeficienții a1, ..., an sunt situați de-a lungul diagonalei principale. în linii, coeficienții sunt localizați după unul, dacă sunt epuizați, atunci spațiile goale sunt umplute cu zerouri.
Exemplul 2.9.2. Test de stabilitate prin sistemul Hurwitz cu un singur feedback negativ într-un lanț linear, care include trei unitate inerțială și, prin urmare, funcția de transfer deschis bucla de forma (2.9.5)
Se notează ecuația caracteristică a unui sistem închis ca suma numărătorului și numitorului (2.9.5):
Determinantul Hurwitz și minorii săi au forma
a0 considerând> 0 determinantilor strict pozitiv Hurwitz și minori (2.9.6) implică starea Stodola și în plus, starea a1a2-a0a3> 0, care după substituind valorile coeficientului dă
Din aceasta este clar că, pe măsură ce crește k, un sistem stabil poate deveni instabil, deoarece inegalitatea (2.9.7) nu mai este satisfăcută.
Funcția de transfer a sistemului este
Conform teoremei referitoare la valoarea finală a originalului, eroarea constantă a elaborării unui semnal cu o singură treaptă va fi 1 / (1 + k). În consecință, există o contradicție între stabilitate și precizie. Pentru a reduce eroarea, măriți k. dar acest lucru duce la o pierdere de stabilitate.
Principiul argumentului și criteriul de stabilitate al lui Mihailov
Criteriul lui Mikhailov se bazează pe așa-numitul principiu de argumentare.
Considerăm polinomul caracteristic al unui sistem închis, care, prin teorema Bezout, poate fi reprezentat în formă
Noi facem substituția p = j
Pentru o valoare particulară a există un punct pe planul complex dat de ecuațiile parametrice
Dacă este schimbat de la - la , curba lui Mikhailov, de ex. Studiem rotația vectorului D (jÛ) ca se schimbă de la - la , adică găsim incrementarea argumentului vectorului (argumentul este egal cu suma pentru produsul vectorilor) :.
Pentru = - vectorul de diferență a cărui origine se află la punctul pi. iar capătul de pe axa imaginară este direcționat vertical în jos. Pe măsură ce crește rosta, sfârșitul vectorului se alunecă de-a lungul axei imaginare, iar pentru = vectorul este direcționat vertical în sus. Dacă rădăcina este lăsată (Figura 2.9.19a), atunci arg = + , iar dacă rădăcina este dreaptă, atunci arg = -.
Dacă ecuația caracteristică are m rădăcini drepte (respectiv n - m stânga), atunci.
Acesta este principiul argumentului. Atunci când alocă partea reală X () și imaginar Y () am atribuit X () toți termenii care conțin j o putere chiar și la Y () - în grad de ciudat. Deci, curba Mihailov este simetrică față de axa reală (X () este egal, Y () este o funcție ciudată). Ca rezultat, dacă schimbați de la 0 la + , atunci incrementul argumentului va fi jumătate. În legătură cu aceasta, principiul argumentului este formulat în cele ce urmează. (9.2.29)
Dacă sistemul este stabil, adică m = 0, obținem criteriul de stabilitate Mihailov.
Potrivit lui Mikhailov, pentru stabilitate, este necesar și suficient
adică, curba Mihailov trebuie să treacă în mod consecvent prin sferturi n în sens contrar acelor de ceasornic.
Evident, pentru a aplica criteriul Mikhailov, nu este necesară o construcție curbă precisă și detaliată. Este important să se stabilească modul în care se micșorează originea coordonatelor și dacă secvența de trecere a sferturilor este în sens invers acelor de ceasornic.
Primer2.9.6. Aplicați criteriul Mikhailov pentru a testa stabilitatea sistemului prezentat în figura 2, 9.20.
Polinomul caracteristic al unui sistem închis pentru k1k2> 0 corespunde unui sistem stabil, astfel încât starea Sto-Doly deține și pentru n = 1 este suficientă. Este posibil să găsiți direct rădăcina p1 = -k1k2 și să verificați dacă este îndeplinită condiția de stabilitate necesară și suficientă. Prin urmare, aplicarea criteriului lui Mikhailov este de natură ilustrativă. Stabilirea p = j, obținem
Pentru ecuațiile parametrice (09/02/31) MI-construit complot polar pe ris.2.9.21 haylova din care se vede că, la trecerea de la 0 la vectorul D (j) se rotește în sens antiorar on-ki + / 2. și anume sistemul este stabil.
Criteriul de durabilitate Nyquist
După cum sa menționat deja, criteriul Nyquist ocupă o poziție specială printre criteriile de stabilitate. Acesta este un criteriu de frecvență care face posibilă determinarea stabilității unui sistem închis în raport cu caracteristicile de frecvență ale unui sistem închis. Se presupune că sistemul este deschis într-un lanț de feedback negativ negativ (figura 2.09.22).
Unul dintre meritele criteriului Nyquist este acela că caracteristicile de frecvență ale unui sistem deschis pot fi obținute experimental.
Determinarea criteriului se bazează pe folosirea principiului argumentelor. Funcția de transfer a sistemului deschis (în lanțul feedback-ului negativ al unității din figura 2.09.22) este
În cazul unui sistem real cu o bandă de transmisie limitată, gradul numitorului funcției de transfer a sistemului deschis n este mai mare decât gradul numărătorului, adică n>. Prin urmare, gradele polinoamelor caracteristice ale unui sistem deschis și ale unui sistem închis sunt aceleași și egale cu n. Trecerea de la AFC cu buclă deschisă la AFX de către (2.9.32) înseamnă o creștere a părții reale cu 1, adică transferul originii în punctul (-1, 0), așa cum se arată în Fig.2.9.23.
Să presupunem acum că sistemul închis este stabil, iar ecuația caracteristică a sistemului deschis A (p) = 0 are m rădăcini drepte. Apoi, în conformitate cu principiul argumentelor (2.9.29), obținem o condiție necesară și suficientă pentru stabilitatea unui sistem închis de către Nyquist
Ie pentru stabilitatea W1 vectorului sistem închis (j) parts soții au m / 2 se transformă în sens antiorar, care este echivalent cu un vector de rotație Wpaz (j) în ceea ce privește punctul critic-cal (-1,0).
În practică, ca regulă, sistemul deschis este stabil, adică m = 0. În acest caz, incrementul argumentului este zero, adică AFX-ul unui sistem deschis nu trebuie să acopere punctul critic (-1,0).
Criteriul Nyquist pentru LAX și LFH
În practică, caracteristicile logaritmice ale unui sistem deschis sunt mai des folosite. Prin urmare, este oportun să se formuleze criteriul Nyquist pentru determinarea stabilității unui sistem închis în raport cu acestea. Numărul de RPM se întoarce în raport cu punctul critic (-1,0) și acoperirea sau neacoperirea acestuia
Aceasta depinde de numărul intervalului traversări pozitive și negative (-, -1), respectiv a axei reale și linia de intersecție a caracteristicii de fază de -180 ° în L () 0. La ris.2.9.24 descris APC și prezintă semne anes intersecții segment ( -, -1) a axei reale.
unde este numărul intersecțiilor pozitive și negative.
Conform AFC Fig.2.9.24, LAX și LFH, prezentate în figura 2, 9.25, sunt construite, iar intersecțiile pozitive și negative sunt marcate pe LHC. Pe segmentul (-, -1), modulul este mai mare decât unul, care corespunde lui L ()> 0. Prin urmare, criteriul Nyquist:
Pentru stabilitatea sistemului închis al LPC al unui sistem deschis într-o regiune în care L (z)> 0, acesta trebuie să aibă intersecții pozitive ale liniei -180 ° pentru mai mult decât cele negative.
Dacă sistemul buclă deschisă este stabilă, numărul de treceri pozitive și negative ale caracteristicii de fază de -180 ° linie în L ()> 0 pentru stabilitatea unui sistem închis trebuie să fie aceleași sau intersecții nu trebuie să fie.
Criteriul Nyquist pentru sistemul astatic
În special este necesar să se ia în considerare cazul unui sistem astatic de ordin r cu o funcție de transfer a unui sistem deschis egal cu
În acest caz, la 0, adică răspunsul în fază de amplitudine (AFC) al sistemului deschis ajunge la infinit. Anterior, am construit cu APC ◆ Schimbarea de la - înainte și a fost o curbă continuă, care este închisă atunci când = 0. Acum se închide, de asemenea, atunci când = 0, dar la infinit și nu este clar pe care parte a axei reale ( la infinit pe stânga sau pe dreapta?).
Ris.2.9.19v ilustrează că există o incertitudine în acest caz, incrementul de numărare a argumentului vectorului diferență. El este acum întotdeauna situat de-a lungul axei imaginare (coincide cu j). Numai atunci când trecerea prin zero își schimbă direcția (vectorul se rotește invers acelor de ceasornic sau în sens orar -?) Pentru definiteness presupunem că în mod condiționat rădăcina stânga și îndoire de origine are loc într-un arc de cerc de rază infinit de mic invers acelor de ceasornic (porniți + ). Prin urmare, în vecinătatea = 0 reprezentat
unde = + ca se schimbă de la -0 la + 0. Ultima expresie arată că, cu o astfel de incertitudine neacoperită, APS se rotește atunci când se schimbă de la -0 la +0 într-un unghi - în sensul acelor de ceasornic. Corespunzător, AFC construit trebuie suplimentat pentru = 0 printr-un arc de infinit de rază cu un unghi, adică în sens invers acelor de ceasornic la o semiaxă reală pozitivă.
Rezervele de stabilitate modulo și faza
Pentru a garanta stabilitatea, modificările parametrilor sistemului introduc stocuri de stabilitate în modul și fază, definite după cum urmează.
Marja de stabilitate modulo arată de câte ori sau câte decibeli este permisă creșterea sau scăderea câștigului, astfel încât sistemul să rămână stabil (sa dovedit la limita de stabilitate). Este definit ca min (L3, L4) în Fig.2.9.25. Într-adevăr, dacă nu schimbăm LPC, atunci când LAX este ridicată de L4, frecvența de cutoff σр se va deplasa la punctul 4 și sistemul se va afla pe limita de stabilitate. Dacă omitem LAX pe L3. atunci frecvența de cutoff se va deplasa spre stânga până la punctul 3 și sistemul va fi, de asemenea, pe limita de stabilitate. Dacă omitem LAX chiar mai mic, atunci în regiunea L (z)> 0 va rămâne numai intersecția negativă a LPC a liniei -180 °, adică Prin criteriul Nyquist, sistemul devine instabil.
Marja de stabilitate a fazelor indică cât de mult este permisă creșterea fazei de deplasare la un câștig constant, astfel încât sistemul să rămână stabil (la limita de stabilitate). Este definită ca complementul lui (sp) la -180 °.
Trimiteți-le prietenilor: