Pentru a ajuta la gouge

Formula Gauss-Ostrogradsky. polya.Teorema vector solenoidali 1. Fie un câmp vectorial este continuu diferențiabilă în zona de circuit unitate a cărui limită este netedă pe porțiuni câmpul vizual extern normală orientată spre suprafață. Apoi, formula Gauss-Ostrogradsky (1)







Dovada. Formula Gauss-Ostrogradsky, care omite argumentele, poate fi reprezentată în forma (2)

Să dovedim egalitatea (3)

Având în vedere caracterul elementar al domeniului G în raport cu axa z, există un set măsurabil și funcționează continuu la închiderea setului E și astfel încât pentru orice u

Prin urmare, suprafața "cilindrului curbilinar" G constă din trei părți:

"Baza superioară" a "bazei inferioare" și a "suprafeței laterale"

Deoarece vectorul normal la "suprafața laterală" este paralel cu planul xy, atunci, prin urmare, reducerea integrala a celui de-al doilea tip la integrale de primul fel, obținem

Folosind definiția 2 pentru integralele de suprafață ale celui de-al doilea tip de-a lungul părții superioare a suprafeței și a părții inferioare a suprafeței, obținem

Folosind formula Newton-Leibniz, obținem

Din aceasta și teorema de reducere a unui integral multiplu la o integrală repetată, urmărește formula (3).







În mod similar, folosind elementaritatea domeniului G relativ la axele x și y, putem obține egalitățile (4) (5)

Adăugând egalitățile (3) - (5), obținem formula Gauss-Ostrogradsky (2).

Teorema 2

domeniul G poate fi reprezentat ca o uniune a unui număr finit de regiuni elementare disjuncte și suprafețe netede în bucăți situate la limitele domeniilor

granița lui G este o suprafață netedă pe o bucată orientată de câmpul normalelor exterioare;

câmpul vectorial este continuabil diferențiat la închiderea lui G.

Apoi, formula Gauss-Ostrogradsky (1) este valabilă.

Dovada. Prin teorema 1, pentru fiecare regiune elementară, formula Gauss-Ostrogradskii

Din moment ce regiunile elementare sunt măsurabile, rezultă din aceasta și din condiția că, în virtutea aditivității integrale multiple

Să denotăm limita comună a regiunilor elementare învecinate și câmpul orientat normal la domeniu, atunci orientările suprafețelor u sunt reciproc opuse și, în consecință,

De aceea, când însumare integralelor peste suprafețele integralele peste limitele comune ale câmpurilor adiacente se anulează reciproc și rămâne integral asupra regiunii de frontieră G. Astfel, de formula (6) formula Gauss pentru zona G.

Observăm fără o dovadă că formula Gauss-Ostrogradskii deține și domeniul G, care nu poate fi reprezentat ca unitate a unui număr finit de regiuni elementare și părți ale limitelor acestora, adică în loc de condiția (1) a teoremei 2, este suficient să se solicite măsurabilitatea domeniului G.







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: