GEOMETRIA RYMANOVA, o generalizare multidimensională a geometriei pe vârf, care introduce teoria ri-ma-no-pro spațiile, adică acele spații unde, în văile mici, în apropierea zhen-nu, există un loc de geommetrie eu-li-do-va ( cu o precizie de până la un pic mai mare într-un rând în comparație cu mărimea lap-ti). R. în denumirea lui lu-chi-la-la. prin numele lui B. Ri-ma-na. za-lo-zh-it-it-go-it-it-a fost-tu-in în 1854.
Conceptul geometriei Riemanniene
Pro-stey-shiy de exemplu, ri-ma-no-va pro-țări-st-va da-e-lu-bya netedă-kaya top-ness. Dey-st-vitelno, în dos-ta-tak-dar nu-i nimic, ok sov-pa-da-em până la nivelul mai înalt al celei mai mari decât cea de-a-ka-malo-sti), cu densitatea căsătoriei în acest punct, așa se întâmplă în Ta- care va dura o lungă perioadă de timp pe scară, va fi la fel ca pe un plan (din punct de vedere exact) la cea mai mică ordine superioară). Astfel. în varietăți mici de vârf are un loc (cu o precizie de până la o ordine mai mică) în eu-li-do-va geo metil-reședință. De exemplu. at-from-me-re-ni-yah pe parcurile pământului de sus, mici în comparație cu raz-me-ra-mi-pământ - Poți să folosești planul obișnuit, cu unu-la-unu, unu-la-un rezultat de la-me-re-niy pe durerosul, Există o mare atenție din partea oamenilor care se confruntă cu o prostie de la clonarea plat-ni-metri. Adică, la suprafață, rassmatriv-ri-vae-may din punctul de vedere al me-re-nii, pro-in-the-smoke pe ea, okazy-wa-et- Pro-țările bidimensionale-st-dom, geomentrul intern-ko-to-ro-go, bu-du-chi evk-li-do-vo-vo în bes-ne-nech - dar puțin, în întregime, nu eva-la-e-ya evk-li-do-cum; la fel, ca regulă, acel fel de pro-țări - nu în una, ci în trupă, ci în bogatul lor geo-met. dvs.-articol-vă. Geometria internă a top-notch-ului nu este altul decât geometria Riemanniană în cazul a două soluții, ci mai degrabă cea de sus-jos, rassmatrivie Din punctul de vedere al geometriei interne, există o structură bidimensională ri-ma-no-pro-countries-st-in.
Transferul acestor concepte către pro-țările multidimensionale este adus la administrația generală a orașului Imen-nu, -ri-va-et-sya ab-st-rakt-nye pro-țări-în-n-n-a-me-re-nii, în unele-za-da-sya-za-con de la - măsurători ale distanțelor, Sovata-pa-pa-ta-ta în apropierea punctelor ka-zh-doy-ki cu ecuația obișnuită a ekk-li-do- la-unele-mici de înaltă calitate. Există trei idei în R. Os. Prima dintre ele - recunoașterea faptului că, în general, posibilitatea geo-meteorologiei, care era separată de cea europeană, a fost pentru prima dată NI Lobakchevsky, prima dată. În al doilea rând - mergând de la geometria internă K.-Ga-us-sa-nya-pe-top-stye și cea analitică. an-par-șobolan sub formă de formă quad-ra-tich-th, care op-re-de-lyayuschih li-ne-ny element de sus. A treia idee este să înțelegem cele mai simple cazuri de $ n $ -dimensionale pro-țări-of-the-ve, you-move-it-and-ra-bo-tant-nye -a-ya geommetru la etajul 1. Secolul al XIX-lea. B. Riemann, co-edinov și generalizarea acestor idei, a introdus, pe de o parte, înțelegerea generală a pro-țărilor-st-ve ca un non-pre-rive. de orice tip de obiecte de tip one-and-one, dintre care unele sunt-they-are-are-it-ka-mi-it-it- pro-țările-st-va. În al doilea rând, el sa mutat la aceste pre-țări abstracte-st-va-st-va pre-stație cu privire la întinderea lungimii nu-la- dar cu un mic șah-ha-mi, adică a dat o prezentare generală despre metrici, op-de-liae-my for-mu-loy $$ ds = f (x ^ 1 .x ^ n; dx ^ 1.dx ^ n) $ Is-do-val-met-ri-ku, Loy (2) (a se vedea mai jos), ce a făcut po-lolo lui R; cro-me-th, el a reușit să comunice cu orașul rus de la propriile sale state-st-va-mi-re-al-no-go pro-țări. Takogo a făcut câteva co-derări ale prelegerii sale "Despre gi-po-te-zah, le-zh-zhchih v os-no-va-niya geommetriya" -canal în 1854 și publicat abia după moartea sa, în 1868. On-mi-mo acest lucru, go-go, în alte ra-bo-te a oferit pri-llo-zhetion tion an-li-tich. ap-par-ra-ta svo-tei-rii la za-da-che despre ra-pro-stranii-nenii te-pla în ani-zoprop-tehnom tel. Acest ra-bo-ta este și de la-da-numai după moartea sa, în 1869. Din aceasta rezultă că orașul capitalei a evoluat și sa dezvoltat, W-wa - a fost în Ra-bo-tah Ri-ma-na împreună cu fi-zi-koi. După publicarea operei Riemanniene a ideii sale, au adus o renaștere a unei serii de ma-te-mat-taks, unele dintre ele time-Wee-wa-dacă distanța-a-li-ana Teach. ap-paratrat RG și ust-ta-na-li-va-li în el noul theo-re-we geommetrich. ha de cancer-te-ra. Da, ele sunt, de asemenea, aceleași ca de exemplu. în mine-ha-no-ke. Lucrul important a fost crearea Italiei. Ma-te-ma-ti-ka-mi G. Rich-chi-ku-ba-st-ro și T. Le-vee-Chi-viv- zece-set, dar al doilea este-Num-le-TION. cineva-oh-oh-oh-o-oli-cel mai mult-mai-sub-ho-dyashchim anal-li. ap-par-ra-tom pentru ra-bot-ki al Republicii Armenia. Același înțeles a avut-o și aplicarea sa în crearea RS în crearea teoria generală a ot-no-si-tel-n-sti. ko-acel paradis a fost-la tri-um-fom nu numai ab-st -ktktogo geo-met-rii și anal-li-tich. ap-pa-ta-ta, dar și idei despre legătura dintre geometrie și fizică, vy-n-ty-ny NI Lo-ba-chevsky și B. Rie- Dl ma. Acest lucru a dus la o rumpă a lui G. și a generalizărilor sale generalizate. Acum, împreună cu ob-obschenie-mi-ya-la-et-ya obsh-shir-noy-a-laya geom-metri-rii, -doll-zha-et-oo-pesh-dar-raz-vivat-tsya în razl. cu privire la drepturile-le-no-uri.
Definirea unui spațiu Riemannian
Pentru a construi un al doilea op-mu-re-de-le-INJ RI-ma-no-pro-VA țări-un-wa-o putem însă în doy-ani-urmează-blow-conductoare domnului Zoom. Primul punct din pro-țările-de-punct $ n $ din me-re-clase de op-re-de-la-et-hsya $ n $ co-op-di-on-ta și $ x ^ 1. x ^ n $. Evk-Is-up de $ n $ -dimensional-ing pro-țările-o-ha, în cancerul-te-ri-zu-este-de faptul că sunt op-de-les-dar distribuite în picioare prin oricare două puncte, X, Y, și în cele de mai sus le-zha-chi-cho-brun-ko-ko-sau-di-on-tah este o soluție a formulei $$ s (X, Y) = \ sqrt ^ n (Δx ^ i) ^ 2> $$ unde $ Δx ^ i $ este diferența co-ord-di-nat apoi verificați $ X $. $ Y $. Pro-țări-a-ha-rak-te-ri-zu-e-sya, în care, Dar dacă se poate introduce punctul $ A $, puteți introduce $ co-di-on-you $ x ^ 1. x ^ n $ în așa fel încât distanța dintre mine și punctele lui X este $ X $. $ Y $. aproape de $ A $. (x, y) = \ sqrt ^ n (Δx ^ i) ^ 2> + ε, \ tag $$ unde $ ε $ este unu-la- în care $ \ frac \ rightarrow 0 $. pentru punctul $ X $. $ Y $ sunt aproape de $ A $. De la-shu da urmează a face este că pro-de-testamente-TION la curse op-di-TAN eminente-Me-x-rând aproape-ki-mi-ka-point E cu Ko ortho-on-tai-mi $ (x ^ i) $ și $ (x ^ i + dx ^ i) $. sau, care este aceeași, lungimea diffe-fe-ren-tsi-al arcului curbei, răspunsul este $ m $ ds = \ sqrtg_dx ^ i dx ^ i>, \ tag $$ unde co-eficientii lui $ g_ = g_ (x ^ 1. x ^ n) $ sunt funcțiile co-ord-di-nat [în special. co-ordi-on-tah $ ds = \ sqrt $. și la un non-re-progres la suma pro-volială co-op-di-on-there suma $ \ sum_i (dx ^ i) ^ 2 $ este pre- l-zhitelnuyu kvadratichnuyu forme-mu ob-shche-go-da]. Hai să ne confruntăm, să lăsăm în punctul ka-zh-dot de $ n $ -mer-no-go pro-țări-st-va za-da-na po-lo-zh-tel-naya quad- forma obișnuită $$ \ sum_ g_dx ^ i gx ^ j. \ tag $$ Dacă doriți să decrydmați lungimea curbei ca un grajd din $ \ sqrt g_dx ^ i gx ^ j> $$ de-a lungul acestei curbe și distanța dintre punctele X X $. $ Y $ ca o mi-ni-mamă (fața exactă inferioară a n-a) a lungimilor curbelor care leagă aceste puncte, atunci pro-țările-of-the- ma-no-zl în sensul de dan-no-tu-vu op-de-de-tion. Se spune că forma (3) implică o met-ry-ku (o soluție din măsura dezacordurilor) a Ri-ma-no-va al pro-țărilor Insulele -cm; (2) elementul on-z-w-e-tsya li-ney al $ ds $ pro-countries-stv. Op-D-de-le-set lungime in-ne ca cele de la $ DS foie a la $ co-ud-pe-un-count-este-mi-D-Niju lungimi „demon-to-nech- dar cu un mic șah-ha-mi-mi "(așa cum a fost de la B.-Ri-man). Astfel. ri-ma-no-in pro-țări-st-în-mozh-an-li-ti-che-sk-op-re-de-luminat ca atare, tip-by-by-to-quad-ra-tich-naya (3). Posibilitatea pre-organizării co-op-di-nat se datorează faptului că una și aceeași pro-țări rm-ma-no-pro - în diferite ko-sau-di-on-tah are soluții diferite ale acestei metrice. de-on-to-her-ve-li-chi-na (urmând sensul său geometric al quad-ra-ta-elementa de lungimea doo- gi) cu pre-codarea co-ord-di-nat de la $ x ^ i $ $ $ tilde x ^ i $ os-ta-sya nu este de la mens: $$ \ sum_ g_dx ^ i ^ Gx j = \ sum_ \ tilde g_d \ tilde x ^ ig \ tilde x ^ j. $$ In ceea ce da de quad-ra-termen Invatati vor ne Rav-HO- impunerea puternică a coeficienților co-ef-fi-ci-ents ai $ g_ $ cu un punct-by-no-em-za-pe pre-încorporarea lor, apoi ri -m-but-in-pro-țări-st-în-mozh-op-re-de-aprins ca un doi-f-ko-va-ri-ant-no-go sim -metrich ($ g_ = g_ $) tensor $ g_ $; numele lui este meta-met. zece-Zo-rom. Dacă, în acest caz, este permis să presupunem că forma (3) poate accepta numele mamei și semnificațiile negative, atunci, Generalizarea unei varietăți Riemannian este utilizată în teoria ot-no-sittel-ness.
Cea mai simplă cauză a pro-țărilor ri-ma-no-va-pre-stal-la-eu-ee-li-do-in we-ka-ta-ti două alte spații ti-par-ri-ma-no-vyh, în care posibilitatea unui fiu cu aceleași ca în euq-li-do-pro-țări-st-ve, în timp ce sub mișcarea-ni-ni-ni-ma-e-sya pre-obrazovanie , care nu schimbă distanța dintre mine și punct. Geometria acestor spații - Lo-ba-chev-sko-go geo-metriya și Ri-ma-na geo-meta (nu râdeți de ri- nou geo-met-ri-ee, consultați Geometria Non-eek-li-do-you). Aceste non-Euclidean-to-Geometrics sunt cazurile speciale ale unei metrici Riemannian, împreună cu geommetria euclidiană , cu ocazia celei mai bune posibile emisiuni unu-și-a-rod-no-shi ri-ma-no-va pro-țări.
Unele concepte despre geometria Riemanniană
K-sa-tel-no eu-li-do-in pro-țări-st. Prin op-re-de-le-niya ri-ma-no-va pro-țări-st-va, met-ri-ka-ma-no-va pro-țări-st-va în ok-re-st -n-sti ka-j-doy punct-kov sov-pa-da-et (cu exactitatea la infinit-mic într-un rând-ka vyshe primul) cu Evk-li-to-gemeți met-ri-Coy. Acest lucru face dificilă co-crearea punct-la-punct $ A $ a dat-n-th ri-ma-no-va a pro-țărilor -st-va $ R $ m. n. ka-sa-tel-ee eu-li-do-in pro-țările-of-the-art $ E_A $. în care există o vecinătate o-bra-zhaet-xia a lui $ U $ point $ A $, astfel încât izo-ka-tionul ot-no-sicl-ee distanțele tinde la zero când se apropie distanța până la punctul $ A $. Ana-li-ti-che-schi este o do-it-to-go-pentru-urma-sh-mu: aproape-la-un punct $ A_0 $ pro-țări-of-the-wa $ E_A $ introduceți co-ordonanța pe care vă aflați în așa fel încât în ele pătratul elementului li-ne-nu este $ ds_0 ^ 2 $ euq-li-do-va pro-țări - $ E_A $ - care este aceeași formă de $ \ sum_g_ (A) dx ^ i dx ^ j $. care exprimă pătratul liniei-cu-element al Riemannian al pro-țărilor statului $ R $ în punctul $ A $. Cunoașterea conceptului de pro-țări-st-va-co-hundred de-a-ka-sa-tel-no-go este că, dar vorbirea pre-neb a Mali într-o serie de căi - deasupra primului, re-crearea punctului în pro-țările ri-ma-no-pro-st-ve- ci să înlocuiască proprietatea pro-țărilor ka-sa-tel-no-go.
Lungimea curbei $ S $ a curbei $ x ^ i = x ^ i (t) $. $ i = 1. n $. $ t_1⩽t⩽t_2 $. Atunci când în-ma-no-TION pro-țările-o-ve $ R $ op-re-de-la-este-Xia ca în cele-Grai $$ S = \ int ds = \ int \ sqrt g_dx ^ i dx ^ j> = \\ = \ int _ ^ \ sqrt g_ \ frac \ frac> dt $$ de-a lungul acestei curbe. Dacă două puncte ale pro-țărilor - state ale $ R $ sunt ω-uni-we-curves, atunci $ R $ este sta-no-vith-sya. pro-țări-st-tion, distanța $ ρ (X, Y) $ me-yu două puncte-op-de de la-net- marginea lungimilor curbelor care leagă aceste puncte și numele metricei ri-ma-no-va la $ R $.
Unghiul dintre două și aceleași puncte dintr-un punct $ A $ de curbe este op-de de la-et-ya ca unghiul me- do-ka-sa-tel-ni-ey-ey-apoi-ra-mi până la curbă la punctul $ A $. Volumul grupului $ n $ -dimensional $ G $ al ri-ma-no-va al pro-țărilor-st-va op-re-de la-em-sya de forma-mu-le $ V = \ int \ int \ sqrtdx ^ 1 \ dots dx ^ n, $$ unde $$ g = \ left | \ begin g_ \ cdots g_ \\ \ cdots \ cdots \ cdots \\ g_ \ cdots g_ \ end \ right
Institutul de Cercetare Lee, într-o secară pe dos-care-punct-dar împerecheat-ma de predare-o-Kah NE-la-TION-Xia ori-ceai-shih-out din toate Cree-O cu cei care mi același con și se numesc geo-de-zee-che-skim-mi, joacă rolul de pro-țări directe în ri-ma-no-pro, avem $ R $. Acestea sunt funcții ex-trem-mai funcționale pe funcția $$ T = \ int \ sqrtg_dx ^ i dx ^ j>. $ Che-ka-ka-dyu ku ri-ma-no-va pro-țări articol Insulele din Lu-bom-privind drepturile-le-SRI-ho despre geo-dit de su-Th-LIC, iar atunci când există un-este-CT vene Nye.
Aplicații și generalizări ale geometriei Riemannian
Deoarece ri-ma-no-pro-pro-country-st-mozh-op-re-de-lit ca un doi-gd ko-va-ri-ant-no-go sim- ric-no-tenzo-ra, apoi all-kuyu fi-zich. za-dah-chu, care este de a studia câmpul ta-ko-tenzor-no-go, puteți forma mu-li-ro-vat ca for- da-chu RG În chast-n-sti, la tenor-tory-la-lami ta-ko-th-ti-ot-no-syat-sya raz. Fi-Zich. ve dacă chi-HN, ha cancer-te-ri-zuyu-conductive in-ru-Gia, op-Ti-Th-parametru, ter-mo-di-na-mi-Th-parametru, di-elec -tr-che-ssky, piezo-magnetice și alte proprietăți ale corpurilor anizotrope. Astfel, peste-da-cha a acestor p-lo-pro-ape-but-Ani-Zo STI-trasee, dar primii la, re-Schoen Nye B. Ri-ma-SG (1861) A fost primul dintre cei mai apropiați-de-aceeași geommetrie ri-ma-no-mo.
Razvitie RG în legătură cu teoria generală a on-ro-di media ot-no-si-tel-n-sti și meh-no-continuă -decomp. generalizarea lui pre-me-th, important-it-shi-mi de la unele-yav-la-yut-sya așa-numitele. pseudo-la-ri-ma-no-te-despre țările Articolul Insulele. Ta-ko-in, de exemplu. co-glas-dar teorii despre ta-go-te-niya, multe despre ra-zee co-fiind (multe despre ra-zee pro-țări-st-va-vra- mi-nu) - Th-te-ROH-up-ing articol pro-țări a unui the dat termen în urmă pe ea ZNA-la-non-op-re-de-lenjerie termen-no-you-Po- Forma cvadraturii x-den-square $ dσ ^ 2 = \ sum_g_dx ^ i dx ^ j. $$ Acest formular este în locul potrivit în pro-țările-st poate fi coexistată pe imagine $ dσ ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2-dt ^ 2, $$ unde $ x $ . $ y $. $ z $ sunt pro-țări-st-ven-cohn co-ord-di-na-tu, $ t $ - timp. Una din celelalte căi de generalizare a lui R. este legată de analiza unor conjectări mai generale ale op de-tion distanțe, spatele scenei în perspectiva elementului li-ne-no-al lui $ ds $.
Trimiteți-le prietenilor: