§ 1.20. Ecuația lui Hamilton-Jacobi. Metoda Hamilton-Jacobi
În §§ 1.13-1.19 au fost date formele canonice ale ecuațiilor mișcării absolute și relative a problemei corpurilor. Integrarea ecuațiilor canonice de mișcare a unui circuit mecanic cu grade de libertate este strâns legată de integrarea unei ecuații diferențiale parțiale, numită ecuația Hamilton-Jacobi. Are forma
Regula prepararea acesteia includ impulsuri incluse în funcția hamiltonian H (4.1.51) generalizate, sunt înlocuite cu derivate parțiale ale unor funcții necunoscute ecuație apoi înregistrate (4.1.67).
Dacă funcția Hamiltoniană H nu depinde în mod explicit de atunci, în loc de ecuația (4.1.67), ecuația
cu o funcție necunoscută Trecerea de la ecuația (4.1.68) la ecuația (4.1.67) se realizează prin înlocuire
Definiția. Un integral integral al unei ecuații diferențiale parțiale de ordinul întâi este o soluție a lui în care numărul de constante arbitrare neaditive (în esență diferite) este egal cu numărul de variabile independente.
Dacă funcția în sine nu include funcția însăși, ca în cazul ecuației Hamilton-Jacobi, atunci numărul de constante arbitrar diferite este în esență mai mic [10].
Jacobi a demonstrat [10] că găsirea unui sistem canonic integral comun (04/01/52) este echivalentă cu găsirea unui complet integrantă Hamilton - ecuația Jacobi (4.1.67). Această afirmație este cunoscută sub numele de teorema lui Hamilton-Jacobi.
Teorema lui Hamilton-Jacobi. Dacă este cunoscut întregul integral al ecuației Hamilton-Jacobi (4.1.67), atunci integralele generale ale sistemului canonic (4.1.52) sunt date de
Primele ecuații determină coordonatele generalizate ca funcții și constante arbitrare. Înlocuind al doilea grup de ecuații (4.1.70), găsim momenta generalizată ca funcții arbitrare
Dacă soluția generală a sistemului canonic al ecuațiilor (4.1.52)
apoi prin metoda Jacobi [10] se poate construi întregul integral al ecuației (4.1.67).
Avem ecuația diferențială
Gasim cantitatile de la primele egalitati (4.1.71) si le substituim in alte relatii. Avem
Dacă în (1.4.72) se înlocuiește apoi, conform metodei Jacobi, acesta va fi un diferențial complet de integrare Sa funcție ne oferă o integrală completă a Hamilton - ecuația Jacobi, așa cum se găsește de funcția depinde.
Dacă este un integral integral al ecuației Hamilton-Jacobi (4.1.68), atunci integralele generale ale sistemului canonic (4.1.52) sunt exprimate prin egalități
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: