Problema 10. Găsiți extrema funcției
Să găsim derivatele parțiale:
și derivatul mixt.
Condiția necesară pentru extremum: u
Rezolvăm sistemul de ecuații x = 2y, 4y - y = -9, y = -3
Deci, punctul P (-9; -3) este un punct critic. Se compune expresia și se calculează valoarea sa la punctul critic P (-9; -3). Atunci, dacă. atunci P este un punct extremum. În acest caz, dacă. atunci F este un punct minim,
dar dacă. atunci F este un punct maxim,
În cazul în care. nu există nici un extremum, dar dacă există un extremum, acesta poate sau nu nu poate fi. Sunt necesare mai multe cercetări.
Să stabilim caracterul extremului la punctul P (-9; -3).
. deci, P (-9; -3) - punctul extremum, iar din punctul P, indiferent de origine, care P (-9; -3) - punctul minim al funcției.
Integalele propuse sunt posibile. aplicarea metodelor de bază
integrare; metoda de substituție, metoda
integrarea prin părți.
Schimbare :. Găsim diferențele dintre cele două părți ale substituției
sau. Schimbați variabila în integrand și găsiți integrala.
În primul dintre integralele din dreapta, introducem o substituție. de unde sau de la. Astfel.
Al doilea integral din dreapta este tabular.
Deci în cazul în care. două constante arbitrare de integrali nedefinite sunt combinate într-una.
Obținem un tabel integrat de tip. Revenind la variabila anterioară, vom avea.
g). O găsim prin metoda de integrare prin părți folosind formula.
În prima dintre aceste două egalități, cele două părți sunt ușor de diferențiat. iar în cel de-al doilea se integrează pentru a găsi. Avem. (aici se presupune că o constantă de integrare arbitrară este zero, deoarece este suficientă cel puțin o valoare).
Aplicând formula de integrare pe părți, obținem
d). Acesta este integrarea unei funcții raționale. Se descompune integradul la cele mai simple fracții, în conformitate cu regula binecunoscută, descompunând mai întâi numitorul fracțiunii în multiplicatori. Apoi. unde A, B, M, N sunt coeficienții nedeterminați care trebuie găsiți. După ce am redus ambele părți ale ultimei egalități la numitorul comun, aflăm
O asemenea egalitate a relațiilor cu aceiași numitori este posibilă numai dacă numerotatorii sunt egali, adică.
Echocând coeficienții lui x în aceleași puteri pe partea stângă și cea dreaptă a ultimei egalități, obținem sistemul de ecuații
Acum ne îndreptăm spre integrare
Dăm două probleme de natură geometrică legate de calculul unui integral integrat.
Problema 12. Calculați aria unei figuri mărginită de linii,
Soluția. Figura OMA (Figura 4), delimitate de linii de date este format din doua parti si OMV BMA, reprezinta cazuri particulare ale trapezelor curbe delimitate de curba superioară și să preia. Astfel, aria cerută este calculată cu ajutorul unui integral definit ca sumă a două zone de formula
Anumite integrale sunt calculate prin formula Newton-Leibniz. Astfel, zona AMN este
Problema 13. Calculați volumul corpului obținut ca rezultat al rotirii
în jurul axei figurinei, mărginită de linii. .
Soluția. Volumul corpului de revoluție se găsește din formula
Problema 14. Găsiți soluția specială a ecuației diferențiale
. satisfacerea condițiilor inițiale
Această ecuație de ordinul întâi este liniară, deoarece satisface forma generală a ecuațiilor liniare. Căutăm o soluție în formă. în cazul în care. - funcții diferențiate ale. Apoi. Substituind. în această ecuație, ajungem
Ecuați la zero expresia în paranteze și obțineți o ecuație cu variabile separabile sau. sau. Integrând ambele părți ale ecuației, găsim fie (Aici, se presupune că o constantă arbitrară este zero). Locație. Înlocuindu-i ecuația. ajungem la ecuația sa generală cu variabilele de separare sau. sau. sau. de unde.
Și deoarece soluția este căutată în formă. atunci va fi așa. Aceasta este o soluție generală în care este o constantă arbitrară. Rezolvăm acum problema Cauchy: din soluția generală, cu condițiile inițiale date, definim o soluție particulară. În acest scop, înlocuim condițiile inițiale în soluția generală. Obținem sau. sau. sau. de unde. Înlocuind această valoare ca o constantă în soluția generală, obținem o soluție specială care să satisfacă condițiile inițiale.
Problema 15. Găsiți domeniul convergenței unei serii de putere.
Un domeniu de convergență este setul tuturor punctelor de convergență ale unei serii date. Să găsim raza și intervalul de convergență.
În cazul în care. Raza convergenței. Apoi intervalul de convergență. Să investigăm convergența seriei la sfârșitul acestui interval.
1) Înlocuim într-o anumită serie de putere. Obținem o serie numerică. Această serie este diferită, deoarece condiția necesară pentru convergența sa nu este satisfăcută.
2) Înlocuirea într-o serie de putere. obținem o serie alternativă de numere. care se abate din același motiv: termenul său comun tinde la 1 și nu la 0.
Astfel, domeniul convergenței unei serii de putere date.
Trimiteți-le prietenilor: