O funcție monotonă este o funcție care se schimbă în aceeași direcție.
Funcția este în creștere. Dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Cu alte cuvinte, dacă valoarea y crește cu creșterea x, atunci este o funcție în creștere.
Funcția scade. Dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției. Cu alte cuvinte, dacă valoarea y scade pe măsură ce crește valoarea lui x, atunci aceasta este o funcție descrescătoare.
Dacă funcția crește sau scade la un anumit interval, atunci se numește monotonă în acest interval.
Funcția este constantă (nonmonotonică) dacă nu scade și nu crește.
Teorema (un semn necesar de monotonie):
1. Dacă funcția diferențiabilă f (x) crește într-un anumit interval, atunci derivatul său pe acest interval este ne-negativ, adică,
2. Dacă funcția diferențiabilă f (x) într-un anumit interval scade, atunci derivatul acesteia pe acest interval este nepozitiv.
3. Dacă funcția nu se modifică, derivatul său este zero, adică .
Teorema (indicarea suficientă a monotonicității):
Să presupunem că f (x) este continuă în intervalul (a; b) și are un derivat în toate punctele, atunci:
1. Dacă interiorul (a; b) este pozitiv, atunci f (x) crește.
2. Dacă interiorul (a; b) este negativ, atunci f (x) scade.
3. Dacă. atunci f (x) este constantă.
Examinarea funcției la extreme.
Extrem - valoarea maximă sau minimă a unei funcții pe un set dat. Punctul la care se ajunge la un extremum se numește un punct extrem. În consecință, dacă se atinge un minim, punctul extremum se numește punctul minim, iar dacă maximul este punctul maxim.
1. Găsiți domeniul de definire a funcției și intervalele la care funcția este continuă.
2. Găsiți derivatul.
3. Găsiți punctele critice, adică punctele la care derivatul funcției este zero sau inexistent.
4. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este divizat de punctele critice, determinați semnul derivatului și natura schimbării funcției.
5. În ceea ce privește fiecare punct critic, determinați dacă acesta este un punct maxim maxim, minim sau nu, un punct extrem.
Înregistrați rezultatul studiului intervalelor de funcții ale monotonicității și extremumului.
Valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții.
Schema de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții care este continuă într-un interval.
1. Găsiți derivatul.
2. Găsiți puncte critice pe un anumit segment.
3. Calculați valoarea funcției în punctele critice și la capetele segmentului.
4. Din valorile calculate, alegeți cea mai mică și cea mai mare.
Convexitatea și concavitatea unei funcții.
Se spune că un arc este convex dacă intersectează cu oricare dintre secante la cel mult două puncte.
Liniile formate de convexitate în sus sunt numite convexe, iar convexitatea formată de convexitate este concavă.
Este clar din punct de vedere geometric că un arc convex se află sub oricare dintre tangentele sale și un arc concav pe o tangentă.
Punctele de inflexiune ale funcției.
Un punct de inflexiune este un punct pe linia care separă arcul convex de arcul concav.
În punctul de inflexiune, tangenta intersectează linia, în vecinătatea acestui punct linia se află pe fiecare parte a tangentei.
Intervalul de decădere al primului derivat corespunde porțiunii convexe a graficului funcției, iar intervalul de creștere este secțiunea concavității.
Teorema (pe punctele de inflexiune):
Dacă al doilea derivat este negativ oriunde în interval, atunci arcul liniei y = f (x) care corespunde acestui interval este convex. Dacă al doilea derivat este peste tot pozitiv în interval, atunci arcul liniei y = f (x) corespunzător acestui interval este concav.
Punct de inflexiune necesar:
Dacă - abscisa punctului de inflexiune, atunci fie. sau nu există.
Semnul suficient de punct de inflexiune:
Punctul este punctul de inflexiune al liniei y = f (x), dacă. și;
La stânga este o porțiune convexă pe dreapta - secțiunea de concavitate, în timp ce porțiunea din stânga este concavă, iar dreapta - convexitate.
Asimptota graficului unei funcții este o linie care are proprietatea că distanța de la punctul graficului funcției la această linie tinde la zero atunci când punctul de grafic este neîngrădit de origine.
1. O linie dreaptă se numește asimptota verticală a graficului funcției y = f (x) dacă cel puțin una dintre valorile directe este fie sau.
O linie nu poate fi o asimptotă verticală dacă funcția este continuă într-un punct. Prin urmare, asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate a funcției.
2. O linie dreaptă se numește asimptota orizontală a graficului funcției y = f (x) dacă cel puțin una dintre valorile limită este egală sau egală cu.
Graficul unei funcții poate avea numai asimptotele orizontale drepte sau numai cele din stânga.
3. O linie dreaptă este numită asimptotă oblică a graficului unei funcții y = f (x), dacă
Trimiteți-le prietenilor: