?-funcția este o funcție generalizată, definită formal ca o funcție liniară continuă în spațiul funcțiilor diferențiate. - funcția nu este o funcție în sensul clasic.
Prezentat de fizicianul englez Dirac. Vă permite să înregistrați densitatea spațială a unei cantități fizice (masa, încărcătura, intensitatea unei surse de căldură, forța etc.) concentrate sau aplicate la un moment dat. De exemplu, densitatea unei mase de puncte m situată într-un punct a spațiului euclidian. Este scris folosind funcția "?" Din formular.
?-funcția este determinată de relația formală
pentru orice funcție continuă.
Pentru funcția delta a unei variabile, sunt valabile următoarele ecuații:
În multe cazuri, o astfel de reprezentare a funcției delta este convenabilă:
Luați în considerare integritatea
care poate fi interpretată ca o limită
Prin (3), pentru oricare, se păstrează următoarea egalitate:
Se poate demonstra că, cu o creștere nelimitată, toate proprietățile funcției delta se dovedesc a fi corecte și funcția (2) este îndreptată spre; Acest lucru ne permite să concluzionăm că:
.
O expresie fundamentală care descrie derivatul funcției delta. (X):
.
Substituind. Obținem expresia:
.
După transformare, avem:
.
Deoarece. Avem expresia finală
.
În forma generală, expresia pentru derivatul funcției delta este scrisă ca:
.
Următoarele identități sunt valabile pentru derivatul funcției delta:
;
;
.
Pentru originea x (t) =. (t), putem aplica transformarea Fourier:
Ca rezultat, se pare că spectrul funcției a este o constantă: F (a) = 1.
Se demonstrează că derivatul funcției Heaviside este egal cu funcția delta. Ie funcția prezentată mai sus funcționează:
.
În consecință, aplicarea transformării Fourier la funcția delta
.
obținem imaginea sa sub forma:
.
În spațiul bidimensional:
;
.
În coordonate polare:
.
În spațiul tridimensional:
;
.
Într-un sistem cilindric:
.
Într-un sistem de coordonate sferice:
.
Accelerație instantanee
Un exemplu al funcției delta delta poate fi problema unei coliziuni a două corpuri. Dacă impactul lovește altul, atunci ambele corpuri obțin accelerație și viteză. Cum se calculează accelerația dobândită de organism? Să construim graficul de viteză din timp. Graficul va avea forma prezentată în figura superioară din dreapta. Figura inferioară prezintă graficul unei funcții delta cu o amplitudine a unității, reflectând procesul instant de apelare rapidă de către organism.
Având în vedere faptul că modelul este considerat în spațiul euclidian, putem scrie următoarea ecuație:
Funcția verde
Alte exemple Funcția delta este utilizată în fizica matematică pentru rezolvarea problemelor care implică cantități concentrate. În funcțiile de undă cvasi-clasice sunt localizate în funcția delta, iar centrele lor de concentrare se deplasează de-a lungul traiectorii clasice de ecuații newtoniene. Prin funcția delta, și funcțiile de înregistrare ale operatorului Linia Verde de L, care acționează asupra distribuțiilor peste un M colector la punctul x 0. Ecuația este de forma.
unde este operatorul Laplacian.
Este important să notați următoarea formulă
.
Această expresie rezultă din faptul că se comportă ca o funcție delta. Acest fapt este folosit pentru a demonstra că expresia pentru potențialul scalar:
satisface ecuația Poisson:
.
Astfel, funcția delta este un instrument matematic puternic pentru descrierea proceselor fizice complexe.
Articole similare
-
O idee minunată și originală pentru o dacha - produse din viță de vie cu mâinile tale
-
Cultura Neskuchnaya cum să vă obișnuiți pe tine însuți și pe copilul frumos
Trimiteți-le prietenilor: