Fig. 3.22. Vector proiecția unui vector pe un avion.
Fig. 3.23. Proiecția vectorială a vectorului pe axă.
În algebra vectorială, este adesea necesar să se proiecteze un vector pe un DB, adică o linie care are o orientare definită. Un astfel de design este ușor dacă vectorul și axa L se află în același plan (Figura 3.23). Cu toate acestea, sarcina devine mai complicată atunci când această condiție nu este îndeplinită. Construim proiecția vectorului pe axă, atunci când vectorul și axa nu se află într-un singur plan (Figura 3.24).
Fig. 3.24. Vector design pe o axă
în cazul general.
Dovedeste ca daca vectorii sunt transferati in paralel, proiectia vectorilor lor nu se va schimba.
După menținerea capetele planului vectorului, L. Intersecția perpendicular cu linia dreaptă a acestor date plan este determinată de două puncte A1 și B1 - vector care va fi numit proiecția vectorială a vectorului. Problema de a găsi o proiecție vector poate fi rezolvată mai ușor în cazul în care vectorul este prezentat într-un singur plan cu axa, este posibil să se pună în aplicare, deoarece în algebra vector considerate vectori liberi.
Împreună cu vectorul de proiecție, există o proiecție scalar, care este egal cu unitatea de proiecție vector, dacă proiecția coincide cu orientarea vectorului axa L, și magnitudine egală, opusă acesteia, în cazul în care proiecția vectorului axa L și au orientare opusă. Denumim proiecția scalară prin:
Proiecțiile vectoriale și scalare nu sunt strict separate în mod practic terminologic. Utilizați în mod obișnuit termenul "proiecție vector", adică prin proiecția scalară a vectorului. Atunci când rezolvăm probleme, este necesar să distingem clar aceste concepte. Urmând tradiția stabilită, vom folosi termenii "proiecție vector", ceea ce înseamnă proiecție scalară și "proiecție vectorială" - în conformitate cu sensul stabilit.
Să demonstram o teoremă care ne permite să calculam proiecția scalară a unui vector dat.
Teorema 5. Proiecția unui vector pe axa L este egală cu produsul modulului său de cosinusul unghiului dintre vector și axă, adică,
Fig. 3.25. Găsirea vectorului și scalar
Proiecțiile vectorului pe axa L
(și axa L sunt orientate în mod egal).
Dovada. Efectuați pre-construcție, permițând să găsească unghiul dintre vectorul și G axa L. Pentru această linie construct MN, L este paralelă cu axa și care trece prin punctul O - start vector (Figura 3.25.). Unghiul u va fi unghiul dorit. Tragem prin punctele A și D două planuri perpendiculare pe axa L. Obținem:
Deoarece axa L și linia MN sunt paralele.
Să evidențiem două cazuri de locație relativă a vectorului și axa L.
1. Să presupunem că proiecția vectorului și axa L sunt orientate în mod egal (Figura 3.25). Apoi proiecția scalară corespunzătoare.
2. Let și L să fie orientate în direcții diferite (Figura 3.26).
Fig. 3.26. Găsirea proiecțiilor vectoriale și scalare ale vectorului pe axa L (și axa L sunt orientate în direcții opuse).
.
Astfel, în ambele cazuri afirmarea teoremei este valabilă.
Teorema 6. Dacă originea vectorului este dat unui punct al axei L, iar această axă este situată în s planul formează un vector cu un vector s pe planul unghiului de proiecție și cu proiecția vectorului pe axa L - unghiul în plus ele însele proiecții vectoriale formează un unghi , atunci
Dovada. În consecință, triunghiurile OAB, OVS și OAS sunt dreptunghiulare
Fig. 3.27. Vectorul și proiecțiile sale vectoriale pe planul S și axa L situată în acest plan
(Și axa L este orientată în mod egal).
Formulați și demonstrați această teoremă, când nu toate unghiurile lui A. Trebuie să fie ascuțite (figura 3.28).
Teorema sa dovedit a fi importantă nu numai în algebra vectorială, ci și în rezolvarea multor probleme stereometrice.
Fig. 3,28. Vector și proiecțiile sale vectoriale
Pe planul S și pe axa L situată în acest plan
(Și axa L este orientată opus).
Trimiteți-le prietenilor: