Viteza punctului oscilant este primul derivat al deplasării punctului în timp (pentru baza luăm a doua pereche de ecuații (1.1)):
Aici umax = A - viteza maximă sau amplitudinea vitezei.
Accelerația este al doilea derivat al deplasării punctului de timp:
Se poate observa din formulele (1.1), (1.4) și (1.5) că deplasarea, viteza și accelerația nu coincid în fază (Fig. În momentele în care deplasarea este maximă, rata este zero, iar accelerația are valoarea maximă negativă. Deplasarea și accelerația se află în faza opusă - așa se spune, atunci când diferența de fază este egală cu p. Accelerația este întotdeauna îndreptată spre partea opusă deplasării.
Energia totală a oscilațiilor este egală cu suma energiilor cinetice și potențiale ale punctului oscilant:
Substituim în această expresie formulele (1.4) și (1.1) cu o cotă pentru k = m # 969; 0 2 (după cum se va arăta mai jos)
Comparând graficele funcțiilor x (t), Wk (t) și Wn (t) (figura 1.3), vedem că frecvența oscilațiilor de energie este dublă frecvenței oscilațiilor de deplasare.
Valoarea medie a energiei potențiale și cinetice pentru perioada T este egală cu jumătate din energia totală (Figura 1.3):
Exemplul 1. Un punct material cu o masă de 5 g oscilează conform ecuației în care x este deplasarea, vezi Determinarea forței maxime și a energiei totale.
Forța maximă este exprimată prin formula în care (vezi formula (1.5)). Apoi Fmax = mA 2. Din ecuația de oscilație rezultă că înlocuim valorile numerice: Fmax = 5 # 8729; 10 -3 0,1 # 8729; 4 = 2 # 8729; 10 -3 H = 2mH.
Energia totală Ca rezultat, E = 0,5 # 8729; 5 # 8729; 10 -3 # 8729; 4 # 8729; 10-2 = 10-4 J.
1.3. Ecuație diferențială
oscilații libere neconfirmate. Pendulumurile
Un sistem format dintr-un corp de masă m. suspendat la un arc, al doilea capăt al căruia este fixat, numit pendul de primăvară (Figura 1.4). Un astfel de sistem servește ca model al unui oscilator liniar.
Dacă întindeți (comprimați) primăvara cu o valoare x. atunci va exista o forță elastică care tinde să readucă corpul într-o poziție de echilibru. Pentru deformări mici, legea lui Hooke este valabilă: F = - kx. unde k este coeficientul de rigiditate al arcului. Să scriem a doua lege a lui Newton:
Semnul minus înseamnă că forța elastică este direcționată în direcția opusă deplasării x. În această ecuație înlocuim accelerația a punctului oscilant din ecuația (1.5) pe care o obținem
- m # 969; 0 2 x = - k x,
de unde k = m # 2. Durata oscilațiilor
Astfel, perioada oscilațiilor nu depinde de amplitudine.
Exemplul 2. Acționând asupra gravității sarcinii, arcul este întins până la 5 cm. După ce este eliberat din starea de repaus, sarcina efectuează oscilații armonice. Determinați perioada acestor fluctuații.
Perioada de oscilație a pendulului de primăvară se găsește în formula (1.8). Coeficientul rigidității arcului se calculează conform legii lui Hooke, pornind de la faptul că arcul este întins sub acțiunea gravitației: mg = - kx. din care modulul k = mg / x. Înlocuim k în formula (1.8):
Efectuăm calcule și producția unității de măsură:
Ecuația diferențială a oscilațiilor armonice rezultă din (1.7):
Înlocuirea raportului k / m = 2. obținem ecuația diferențială a oscilațiilor neconfirmate corespunzătoare în formă
Soluțiile sale sunt expresiile (1.1).
Exemplul 3. Ecuația diferențială a oscilațiilor armonice neinflamate are forma. Găsiți frecvența și perioada acestor oscilații.
Remarcăm, scrieți ecuația în forma :.
Rezultă că o perioadă de oscilație este determinată de formula: În consecință, T = 2 # 8729; 3,14 / 2 = 3,14 s.
Un pendul fizic este un corp solid care oscilează sub acțiunea gravitației în jurul unei axe orizontale fixe (Figura 1.5), trecând prin punctul O care nu coincide cu centrul de masă C al corpului.
Momentul gravitației mg față de axa de rotație O
unde este lungimea pendulului fizic (distanța dintre punctul de suspendare și centrul pendulului = OC).
Conform legii fundamentale a dinamicii mișcării de rotație, I e = M, Aici I este momentul inerției pendulului față de axa care trece prin punctul de suspendare O. e este accelerația unghiulară.
Pentru deviații mici sin j = j, atunci
Dintr-o comparație a ecuațiilor (1.9) și (1.10) rezultă că perioada de oscilații
Pendulul matematic este un punct material de masă m. suspendat pe un fir elastic absolut inextensibil și oscilând sub acțiunea gravitației (Figura 1.6).
În formula (1.11) înlocuim momentul inerției punctului material cu axa care trece prin punctul de suspendare. avem
Din expresiile (1.11) și (1.12) rezultă că pendulul fizic are aceeași perioadă de oscilație ca și perioada matematică cu lungimea
Această valoare se numește lungimea redusă a unui pendul fizic. Rețineți că eu este momentul de inerție în ceea ce privește axa care trece prin punctul de suspendare O. de teorema lui Steiner
unde IC este momentul de inerție în jurul axei. trecând prin centrul de masă al pendulului. Reprezentăm lungimea pendulului în formă
din care se poate observa că lungimea pendulului fizic introdus este mai lungă decât lungimea sa
Dacă am amâna punctul de suspendare O (vezi Figura 1.5), atunci vom găsi punctul O1. care se numește centrul leagăn. Punctul de suspendare și punctul de oscilație sunt conjugate. Aceasta înseamnă că pendulul este suspendat din centrul balansierului O1. nu va schimba perioada de oscilații, iar punctul O va deveni un nou centru de oscilație.
Exemplul 4. O tijă omogenă cu lungimea b oscilează într-un plan vertical în jurul unei axe care trece prin unul dintre capetele sale (figura 1.7). Determinați perioada oscilațiilor.
Utilizăm formula pentru determinarea perioadei de oscilații a unui pendul fizic (1.11), unde # 8467; = OC este distanța de la axa de rotație la centrul de masă. Această distanță # 8467; = b / 2 (Figura 1.7). Momentul de inerție al tijei în raport cu capătul său I = 1 / 3mb 2. În consecință,
Forța care returnează pendulul într-o poziție de echilibru (Figura 1.6), adică, este proporțională cu deplasarea lui x. Dar această forță nu este inversată prin natura ei, de aceea se numește cvasi-elastică.
Astfel, oscilațiile armonice mecanice apar în sisteme sub acțiunea forțelor proporționale cu deplasarea.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: