ix ?? Hotarat. O submulțime a unui inel este denumită în mod obișnuit o sublingură a unui inel și este notată, dacă este un inel față de operațiile de adăugare și multiplicare definite într-un inel.
În fiecare inel, evident, există următoarele elemente:
Zero inel, unde.
Pentru a determina dacă un subset dat al unui inel este un subing al acestui inel, putem folosi următoarea teoremă.
Teorema. Pentru ca o submulțime neimprimată a unui inel să fie sublinieră, este extrem de important și suficient ca următoarele două condiții să fie îndeplinite:
(Este subgrupul grupului de aditivi al inelului);
(Este o submigroupă a semigrupului multiplicativ al inelului).
Dovada. Demonstrăm condițiile extrem de importante.
Să presupunem că este un subing al unui inel.
Fie u elemente arbitrare ale unui subset.
Apoi fiecare dintre elementele
inelul este conținut în:
dacă cel puțin una dintre ele nu a fost inclusă, atunci subsetul nu ar fi un inel față de operațiile definite pe, și, prin urmare, nu ar fi o sublingură a inelului.
Să dovedim suficiența condițiilor. Să presupunem că un subset satisface condițiile teoremei.
Apoi în subset se definește conceptul de sumă și produs, ᴛ.ᴇ. Pe subset sunt definite operațiile adunării și multiplicării.
Aceste operații pe un subset sunt asociative, comutative și legate de o lege distributivă:
Elementul zero 0 este conținut în și pentru elementul invers (opus).
Într-adevăr, să fie un element arbitrar al unui subset.
Apoi ᴛ.ᴇ. și, ᴛ.ᴇ. .
Tᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, subsetul este un inel în ceea ce privește operațiile de adăugare și multiplicare definite pe și, prin urmare, este un subing al inelului.
Exemple. 1. Inelul de numere întregi este un subing al inelului de întregi.
2. Inelul de întregi este un subing al inelului de numere raționale.
3. Inelul numerelor raționale și inelul, unde, ca și mai înainte, setul de numere ale formei, sunt subliniază inelul de numere reale.
Pentru orice familie de fragmente dintr-un inel arbitrar se afișează următoarea afirmație.
Teorema. Intersecția oricărei familii de fragmente din inel este o sublingură a inelului:
Dovada. Elementul zero 0 al inelului este conținut în fiecare dintre fragmente și, prin urmare, este conținut în intersecția lor.
În cazul unui inel cu unitate, fiecare subing al inelului conține, de asemenea, unitatea inelului și, prin urmare, intersecția acestuia conține și unitatea inelului.
Să fie elementele arbitrare care aparțin. Elemente și, evident, sunt conținute în fiecare dintre fragmente.
Prin definirea unui inel, elementele sunt, de asemenea, conținute în fiecare dintre fragmente, prin urmare - satisface axiomele inelului și reprezintă o sublingură a inelului.
Să permitem, ca și mai înainte, să conțină un set arbitrar în fiecare dintre fragmentele inelului:
atunci putem defini o subingă minimă care conține setul dat:
În cazul unei sublinguri a unui inel, atunci.
Articole similare
-
Pe care deget să poarte un inel pentru îmbunătățirea soartei
-
Interpretarea visului inelul de logodna pierduta a fost apoi gasita
Trimiteți-le prietenilor: