Forța de forță

Forța de forță

Acasă | Despre noi | feedback-ul

Ecuația de viteză vx (t) se obține prin diferențierea ecuației de deplasare x (t) = X cos (wt - j) în funcție de timp:

unde V = wX este amplitudinea vitezei. Viteza vx (t) = wX și forța motrice Fx (t) = F0 coswt sunt deplasate în fază unul față de celălalt cu un unghi a. Faza a poate lua valori de la () la (+) radiani. În condiția a = 0. În acest caz, frecvența forței motrice w este egală cu frecvența naturală w0. și nu există nici o schimbare de fază între viteză și forța motrice. La a = 0, impedanța mecanică dobândește o valoare minimă și este egală doar cu partea sa activă:







În Fig. 18 reprezintă o diagramă a diferenței de fază dintre viteză și forța motrice. Deoarece impedanța mecanică r este minimă, în acest caz, valoarea amplitudinii vitezei dobândește valoarea maximă a tuturor posibililor, adică se observă rezonanța vitezei. Valoarea de rezonanță a vitezei

Figura 19 prezintă o diagramă a amplitudinii vitezei de deplasare V de la frecvența forței motrice w - graficul funcției

Din expresia pentru amplitudinea vitezei V = urmează semnificația fenomenologică a impedanței mecanice: impedanța mecanică Z = este forța necesară pentru a comunica o singură viteză de amplitudine sistemului oscilant.

Pe diagrama vectorială, termenul X cos (wt - j) este direcționat de-a lungul fasciculului de referință (figura 20). Acest membru din diagramă corespunde unui vector al cărui modul este X. Apoi, diagrama vectorială a termenului 2bwX va fi rotită în sens invers acelor de ceasornic de către un radian. Pentru acest membru în diagramă

acolo corespunde un vector al cărui modul este 2bwX. Diagrama vectorială a termenului w 2 X cos (wt - j + p) va fi rotită de radiani p. Acest termen corespunde unui vector al cărui modul este w 2 X. Modulul vectorului rezultat este egal și rotit față de vectorul de deplasare cu un unghi de j. În funcție de relațiile dintre w 2 X și X, unghiul j poate lua valori de la 0 la p (Figurile 1-20 a, b). Din diagrama urmează expresia pentru tangenta diferenței de fază j: tg j =.

1.1.8. Stabilitatea amplitudinii oscilațiilor forțate

În starea de echilibru, forța forței motrice trebuie să compenseze forța forței de rezistență: în perioada T = lucrul forței de rezistență F op. = mvx trebuie să fie egal cu forța forței motrice Fx = F0 cos wt.

Calculați munca prin puterea forței: dA = N dt = Fvx dt. Definiți activitatea forței motrice AB pentru perioada T:

Lucrarea AB este de a crește energia oscilatorului. Astfel, pentru o perioadă T, energia oscilatorului este mărită cu o valoare

Lucrarea forței de rezistență Asopr. pentru perioada de fluctuații este:

Energia care intră în oscilator merge să lucreze împotriva forțelor de rezistență. În stare staționară, AB = Aco Această condiție trebuie să fie satisfăcută de amplitudinea oscilațiilor forțate la starea de echilibru. Având în vedere condiția AB = Асопр .. obținem expresia pentru amplitudinea oscilațiilor forțate constante sub forma:

Datorită faptului că amplitudinea este o cantitate non-negativă, cosa = în (17) este luată în modul. În plus, obținem că X =. care, desigur, coincide cu expresia obținută anterior pentru amplitudinea de deplasare.

În Fig. 21 prezintă două grafice: programul de lucru al forței motoare AB (X) la o anumită valoare a și programul de lucru al forței de rezistență Acon (X). Lucrarea forței motrice este proporțională cu amplitudinea deplasării X, iar forța forței de rezistență este proporțională cu pătratul amplitudinii X 2. În consecință, graficele AB (X) și Acopr. (X) intersectează. Punctul de intersecție al graficelor corespunde regimului la starea de echilibru a oscilațiilor forțate, adică condiție AB = Asopr. .

Amplitudinea staționară a oscilațiilor forțate este stabilă. Într-adevăr, de exemplu, din anumite motive, amplitudinea a scăzut la o valoare de X1. În acest caz, forța forței motrice, care este afișată pe graficul de la punctul 1, depășește forța de rezistență, care este reprezentată de punctul 1 *. Aceasta duce la o creștere a amplitudinii la valoarea stabilă inițială X. Dacă amplitudinea crește în mod aleatoriu la X2. atunci lucrarea forței de rezistență (punctul 2 *) devine mai mare decât forța forței motrice (punctul 2), ceea ce duce la o scădere a amplitudinii la o valoare stabilă a lui X.







Energia inițială conținută în oscilator este folosită pentru a acționa împotriva forțelor de rezistență, ceea ce duce la atenuarea oscilațiilor în absența unei forțe motrice externe. În acest sens, Q poate fi considerat ca o caracteristică a ratei de scădere a energiei oscilatorului pentru oscilații amortizate.

Pentru oscilațiile amortizate, x (t) = A cos (w / t + a), amplitudinea scade conform legii A = A. Aici A este amplitudinea inițială a oscilatorului, a este faza inițială, w / = = este frecvența oscilațiilor amortizate și 2b =. Energia oscilatorului E este proporțională cu pătratul amplitudinii A 2:

Se observă din (18) că în timpul t = energia oscilatorului devine egală cu. și anume scade cu e ≈ de 2,7 ori. În timpul t = oscilatorul va oscila și faza se va schimba cu valoarea w / t = w / radian. Factorul Q este definit ca numărul de radiani la care se modifică faza oscilațiilor amortizate, pe măsură ce energia oscilatorului este redusă cu e ≈ de 2,7 ori:

În sistemele obișnuite oscilante, coeficientul de atenuare este mult mai mic decât frecvența naturală a sistemului w0 >> b. deci putem presupune aproximativ că w / ≈ w0 =.

În această aproximare, factorul de calitate are forma:

unde t este timpul de relaxare, în timpul căruia oscilatorul are timp să efectueze oscilații Ne. Factorul Q este una dintre cele mai importante caracteristici ale sistemului oscilator.

Se arată că din (19) urmează formula: Q = p Ne. Dacă la un moment dat deplasarea are, de exemplu, o valoare de amplitudine, atunci când faza oscilației se modifică cu ajutorul radianelor de 2 p, deplasarea are din nou o valoare de amplitudine. Atitudine =. dar w0 = u = 2b =. deci =. În timpul timpului de relaxare t, oscilatorul efectuează oscilații Ne, adică Ne =. unde T este perioada de oscilație, prin urmare: = sau

1.1.10. Factorul Q și curba de absorbție a rezonanței

După cum se poate observa din formula (19), Q este determinat de frecvența naturală w0 și componenta activă a impedanței m (rezistență medie). Obținem o altă expresie pentru factorul de calitate al oscilatorului, care este direct legat de dependența absorbției de energie de către oscilator pe frecvența forței motrice.

Mai întâi determina energia transmisă de forța motrice la oscilator pentru unitatea de timp. În timpul perioadei, oscilatorul primește energia determinată de expresie (15 *), vezi § 1.1.8. Pentru o unitate de timp, energia transferată către oscilator (puterea lui P. transmisă la oscilator) este P = = = =. (20)

deoarece w = și cosa = = (vezi figurile 13 și 14). Impedanța este minimă în condițiile (adică, at ​​= w0). În această condiție, Z = m, iar puterea maximă este transmisă oscilatorului. La w = w0, se observă o absorbție de rezonanță a energiei. Puterea de absorbție rezonantă are forma:

Reamintim că în condiția w = w0 observăm o rezonanță a vitezei (vezi § 1.1.7, Figura 1-19). Astfel, la viteza maximă a oscilatorului (la rezonanța vitezei), se observă absorbția maximă a energiei (rezonanța puterii de absorbție), transmisă oscilatorului printr-o forță motrică externă. În Fig. 22 prezintă curba dependenței puterii de absorbție de frecvența forței motoare, determinată de formula (20). În figură, frecvențele w1 și w2 corespund puterii de absorbție, care este egală cu jumătate din puterea rezonantă.

Să arătăm că factorul de calitate al oscilatorului poate fi exprimat prin relația: Q =. De altfel, diferența de frecvență (w2-w1) determină claritatea curbei de rezonanță în ceea ce privește puterea (sau, după cum se spune, claritatea maximului rezonant).

Frecvențele w1 și w2 se găsesc din condiția = =. Rezultă că la frecvențele w1 și w2 avem egalitatea: Z2 = 2m 2. Din egalitatea = 2m 2 obținem: = ± m sau

Eliminarea rigidității k din aceste ecuații. obținem: w2 -w1 =.

Substituim valoarea diferenței de frecvență în factorul Q (19):

Diferența de frecvență (w2-w1) se numește lățimea de absorbție a frecvenței.

Astfel, din claritatea curbei de absorbție a rezonanței se poate judeca factorul de calitate al sistemului oscilator. cu atât rezonanța mai clară, adică Cu cât este mai mică lățimea de absorbție a frecvenței (w2-w1), cu atât oscilatorul este mai bun. De exemplu, factorul de calitate al unui rezonator de cuarț utilizat în generatoarele de precizie RF ajunge la valori

10 6. Pentru astfel de rezonatori la n0 = 1MHz, lățimea frecvenței de absorbție

La frecvențele forței motrice w1 și w2, oscilatorul absoarbe energia egală cu jumătate din puterea de absorbție rezonantă la w0 per unitate de timp. Să determinăm valorile amplitudinii vitezei la frecvențele w1 și w2 și să le comparăm cu amplitudinea rezonantă cu viteza Vp. .

Amplitudinea vitezei este determinată de expresia V = wX. și viteza de rezonanță Vp. = =. Deoarece = + m și = -m. apoi la frecvențele w1 și w2 impedanța are forma: Z = m. Rezultă că la frecvențele w1 și w2 valoarea amplitudinii vitezei:

Valoarea este de aproximativ 0.707. Intervalul (w2-w1) la nivelul de 0.7 este de asemenea numit lățimea de transmisie a frecvenței sistemului oscilator din punct de vedere al vitezei (figura 23). În intervalul acestor frecvențe ale forței motrice, sistemul oscilator răspunde la acțiunea externă cu o viteză vizibilă. Dacă frecvența w a forței motrice F = F0 cos wt este departe de intervalul de frecvență (w2-w1), atunci sistemul de oscilație practic nu reacționează la o astfel de acțiune externă.







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: