Ecuația lui van der Waals

Derivarea tradițională a ecuației lui van der Waals

Starea unei anumite mase a oricărei substanțe poate fi descrisă cu ajutorul a trei parametri: presiunea \ (p \). din volumul \ (V \) și temperatura \ (T \). Acești parametri sunt interdependenți. Relația lor este descrisă de ecuația statului. care, în general, are forma: \ [F \ stânga (\ dreapta) = 0. \] O formă particulară a ecuației este dependentă de proprietățile substanței. De exemplu, un gaz diluat la o temperatură suficient de ridicată este bine descris de un model ideal de gaz. Ecuația de stare pentru aceasta este binecunoscuta ecuație Clapeyron (\ (1799-1864 \)). propusă în \ (1834 \) prin: \ [. pV = \ fracRT \] unde \ (m \) - masa gazelor, \ (M \) - masa molară (adică, greutatea unui mol de gaz) \ ( R \ este constanta universala a gazului. Pentru un mol de gaz, această ecuație are următoarea formă: [. PV = RT \] \ Efectuate mai târziu experimente a relevat deviere în comportamentul gazelor reale din legile gazelor ideale. Aceste rezultate au fost generalizate de fizicianul olandez Jan Diederik van der Waals (1837-1923). care în \ (1873) a propus o ecuație mai exactă a stării pentru un gaz real. Se numește ecuația lui van der Waals și, în calculul unei moli, este scrisă în forma \ [\ left

>> \ right) \ left (\ right) = RT. \] Această ecuație ia în considerare forțele de atracție și repulsie care acționează între molecule. Forțele de atracție sunt luate în considerare datorită efectului de perete. Într-adevăr, pentru particulele din regiunea interioară, forțele atractive ale altor molecule sunt, în medie, compensate. Cu toate acestea, pentru particulele de lângă pereții vasului, o forță atractivă necompensată \ (f, \) este direcționată în vas. Această forță, pe de o parte, este proporțională cu concentrația particulelor (n \) din vas și, pe de altă parte, este proporțională cu concentrația particulelor din stratul de perete. Ca rezultat, obținem: \ (\ \ sim \ sim \ frac >>, \] unde \ (n \) este concentrația de molecule în vas, \ (V \) este volumul \ (1 \) gazului.







Efectul considerat de atragere a moleculelor din stratul de perete conduce la o scădere a presiunii asupra pereților vasului. În tranziție formală din ecuația Clapeyron ecuației Van der Waals, acest lucru corespunde înlocuirii \ [p \ la p + \ frac >>, \] unde \ (a \) - factor în funcție de gazul particular și dimensiunile vasului.

între moleculele de o forță de respingere într-un model al forțelor van der Waals sunt luate în considerare este foarte simplu: se presupune că moleculele au forma unei sfere de rază \ (r \) și nu se poate apropia unul de altul la o distanță între centrele de mai puțin \ (2r \.) Se poate presupune adică în jurul unuia dintre cele două molecule, există un "interzis" (pozitiv sau negativ), volumul (Figura \ (1 \)) egal \ [\ frac \ pi \ dreapta) ^ 3> = 8 \ cdot \ frac \ pi. \] Prin urmare, în calculul pentru o moleculă, volumul exclut este egal cu \ [= 4 \ cdot \ frac \ pi = 4, \] unde \ (\) este volumul unei molecule.

Ca rezultat. dacă în ecuația Clapeyron cantitate de spațiu disponibil pentru mișcarea de molecule este egal cu \ (V \) acum devine egal \ [V - = V - b, \] unde \ (\) - numărul Avogadro (egal cu numărul de molecule într-un singur mol de gaz), \ (b \) este volumul excluse datorită repulsiei moleculelor.

Ecuația lui van der Waals

Ecuația lui van der Waals

Fig.2 Jan Dideric Van der Waals

Presupunând că atracției și respingerii moleculare forțele acționează în comun și de înlocuire \ (p \) și \ (V \) expresii noi, obținem din ecuația Clapeyron van der Waals: \ [\ stânga (

>> \ dreapta) \ stânga (\ dreapta) = RT. \]

Izotermele ecuației lui van der Waals

La o temperatură fixă, ecuația lui van der Waals descrie dependența lui \ (p \ left (V \ right).) În planul (pV) o astfel de dependență este reprezentată ca o familie de izoterme. fiecare dintre acestea corespunde unei anumite temperaturi. Pentru a investiga natura acestei dependențe, transformăm ecuația lui Van der Waals în următoarea formă: \ [>>> \ right] \ left (\ right) = RT \;> \ right | \ cdot,> \; \; + a> \ dreapta) \ stânga (\ dreapta) = RT,> \; \; + aV - pb - ab - RT = 0;>;; \; - \ stânga (\ dreapta) + aV - ab = 0 \;> \ right |: p,> \; \; - \ left (>

> \ dreapta) + \ frac

V - \ frac>

= 0.> \] Pentru o valoare fixă ​​a lui \ (p1), ecuația rezultată este o ecuație de gradul trei în variabila \ (V \). Se știe că o ecuație cubică poate avea \ (1 \) sau \ (3 \) de rădăcini reale. Primul caz apare la temperaturile înalte \ (T \) (izotermul verde \ (AB \) din figura 1 (3 \)). Când temperatura este coborâtă, pe izotermă apare o secțiune ondulatoare. În acest caz, există trei rădăcini (izotermul albastru \ (EFGHIJL \)). Trecerea între două tipuri de izoterme are loc la o anumită temperatură \ (, \) care se numește temperatura critică.







Ecuația lui van der Waals

Ecuația lui van der Waals

La un punct critic, gazul este caracterizat de parametrii critici \ (l), \ (\) și \ (, \) care sunt determinați numai de proprietățile gazului. Din punct de vedere algebric, izotermul în punctul critic are trei rădăcini reale, care sunt egale unul cu celălalt. Acest fapt facilitează calcularea valorilor \ (\), \ (\) și \ (. \) Într-adevăr, în acest caz ecuația de stare a gazului \ [- \ left (>

> \ dreapta) + \ frac

V - \ frac>

= 0 \] ar trebui să fie scris ca \ [> \ dreapta) ^ 3> = 0. \] Extinderea diferență cub și egalează coeficienții de grade respective \ (V \) găsi expresiile pentru parametrii critici: \ [> \ dreapta) ^ 3 > = 0,> \; \; - 3 + 3 V - V_K ^ 3 = 0.> \] Presupunem că la punctul critic \ (p = \), \ (T = \.) Prin urmare, obținem: \ [- \ left (>

> \ right) = - 3 \\ \ frac >> = 3V_K ^ 2 \\ - \ frac >>> = - V_K ^ 3 \ end \ right.,> \; \; b + \ frac>

3 = \\ \ frac >> = 3V_K ^ 2 \\ \ frac >>> = V_K ^ 3 \ end \ dreapta ..> \] secțiune a treia ecuație a doua: \ [\ cere >> \ cdot \ anula >> = \ frac >>>>>,> \; \; . = 3b> \] defini \ Din a doua ecuație (: \). \ [= \ Frac >> = \ dreapta)> ^ 2 = >>>> >>> \] În cele din urmă, din prima ecuație ne găsim temperatură critică \ ( : \) \ [. = \ frac - b> \ dreapta) >>> = \ dreapta) \ cdot \ frac >>>>> = >>> \] Astfel, parametrii critici ai gazului în modelul van der Waals sunt dependente numai pe valorile \ (a, b \) și sunt definite de \ [= 3b,> \; \; \; = \ frac >>;>;; \; \; = \ frac >>.> \] Rețineți că am găsit valorile critice fără a utiliza derivatul. Se poate demonstra că în punctul critic cu parametrii \ (\) \ (\) \ (\) primul și al doilea derivat al funcției \ (p \ left (V \ dreapta) \) sunt egale cu zero (a se vedea exemplul \ (1 \) ).

Ecuația redusă de stare

Folosind parametrii critici ai \ (\) \ (\) și \ (\), puteți merge la variabilele adimensionale: \ [>>> \; \; \; >>> \, \, \; >>> \] și rescrieți ecuația lui van der Waals în forma redusă. \ [, \; P = \ pi, \; T = \ tau,> \; \; + \ Frac> \ dreapta)> ^ 2 >>>> \ dreapta) \ stânga (- b> \ dreapta) = R \ tau,> \; \; >>> + \ frac \ dreapta)> ^ 2 >> >> \ dreapta) \ stânga (\ dreapta) = R \ tau \ cdot \ frac >>,> \; \; >>> \ dreapta) \ stânga (\ dreapta) = 8 \ tau> \] Această ecuație este. mai universal decât ecuația inițială Van der Waals. Izotermele pentru diferite materiale, construite în conformitate cu ecuația de mai sus vor fi aceleași pentru aceleași valori \ (\ tau. \) Picioare organisme diferite, care sunt descrise de aceiași parametri dat \ (\ pi, \) \ (\ varphi, \) \ (\ tau, \) sunt numite stările corespunzătoare. În cazul în care oricare două dintre corp sau oricare două substanțe sunt date parametri identici, ei au aceeași magnitudine și o treime. Această proprietate universală este numită legea statelor corespondente.

Să considerăm un alt interesant invariabil. Deoarece modelul van der Waals valori critice \ (\) \ (\) \ (\) pot fi exprimate doar prin cei doi parametri de \ (a \) și \ (b \) putem face o combinație a acestor valori, independente (b. \) de la \ (a \) și \ poate scrie următoarea relație: \ [>>>>> = >>>>>>>>> = \ cdot \ anula \ cancelR >> \ anula \ cdot 8 \ anulați >>> = >> \; \; \; \; \; \ ;. \ Frac >> >>> R = = 0,375> \] Acest raport se numește factor critic, și nu depinde de orice valori care caracterizează o substanță, adică, este o cantitate invariantă.

Stadiile de tranziție de fază gaz-lichid și metastabile

Considerăm din nou ecuația lui Van der Waals la temperaturi nu mai mari decât cele critice: \ (T 0, \) care corespunde unei stări instabile a materiei. La nivelul Fluctuația volumului \ (dV> 0 \) presiunea gazului va crește, de asemenea, (deoarece \ (dp> 0 \)), ceea ce duce la un gaz exploziv în expansiune. Pentru o fluctuație negativă, \ (dV 0 \)) se află în regiunea delimitată de spinodal. Zona diagramei între spinodal și binodal satisface practic criteriul de stabilitate \ (\ mare \ Frac >> \ normalsize 0.> \] Vedem că discriminant este întotdeauna pozitiv, adică, o ecuație pătratică are două rădăcini reale Ele sunt exprimate prin următoarea formulă :. \ [> = \ fracRT >>> \ dreapta) >>> = RT >>> RT> \ dreapta) >>> = RT >> \ dreapta) >> RT ​​>>.> \] Prima rădăcină \ (\) cu semnul minus în numărătorul nu are nici o semnificație fizică, pentru că \ (0 \) parabole care corespunde numărătorul derivatului va fi direcționat peste ramuri. De aceea, derivatul își schimbă semnul de la minus la plus atunci când trece prin rădăcina dreaptă \ (\). Aceasta înseamnă că punctul \ (\) este minimul funcției \ (pV: \) (. => \) \

Astfel, atunci când gazul Rane Van der Waals este comprimat la o temperatură constantă, produsul \ (pV \) scade mai întâi, atingând valoarea minimă \ (\ dreapta) _>, \) și apoi începe să crească. Prima etapă se explică prin dominarea forțelor atractive între molecule, iar a doua etapă este asociată cu o creștere a contribuției forțelor repulsive.

Unele gaze au temperaturi suficient de scăzute pentru Boyle. De exemplu, pentru helium \ (He \), acesta este \ (= 22.6 \; \ text, \) Pentru neon \ (Ne \), \ (= 122,1 \ temperaturile, astfel de gaze arată o dependență monotonă a \ (pV \) pe \ (v \)







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: