Soluție de ecuații liniare ecuațiile (SLAE) folosind matricea inversă (denumită uneori mai metodă de matrice metoda sau metoda matricei inverse) necesită familiarizarea cu conceptul de modul de înregistrare sub formă de matrice SLAE. metoda matricei inverse pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, în care matricea determinantului sistemului este nenul. În mod natural, aceasta înseamnă că matricea sistemului este pătrată (conceptul determinantului există numai pentru matricile pătrate). Esența metodei matricei inverse poate fi exprimată în trei puncte:
- Scrieți trei matrice: matricea sistemului $ A $, matricea necunoscutului $ X $, matricea termenilor liberi $ B $.
- Găsiți matricea inversă $ A ^ $.
- Folosind egalitatea $ X = A ^ \ cdot B $, obținem o soluție a SLAE dat.
Orice sisteme liniare pot fi scrise sub forma de matrice ca $ A \ cdot X = B $, unde $ A $ - matricea sistemului, $ B $ - matrice de valori absolute, $ X $ - matrice de necunoscute. Să presupunem că există matricea $ A ^ $. Noi multiplicăm ambele părți ale egalității $ A \ cdot X = B $ cu matricea $ A ^ $ în stânga:
$ $ A ^ \ cdot A \ cdot X = A ^ \ cdot B. $$
Din moment ce $ A ^ \ cdot A = E $ ($ E $ este matricea identității), egalitatea scrisă mai sus devine:
Din moment ce $ E \ cdot X = X $, atunci:
Înainte de a citi exemplele, vă recomandăm să vă familiarizați cu metodele de calcul a matricilor inverse descrise aici.
Rezolvați SLAU $ \ left \<\begin & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end \right.$ с помощью обратной матрицы.
Se scrie matricea sistemului $ A $, matricea termenilor liberi $ B $ și matricea necunoscutului $ X $.
Găsim matricea inversă a matricei sistemului, adică calculăm $ A ^ $. În exemplul 2 din pagina dedicată găsirii matricelor inverse, matricea inversă a fost deja găsită. Noi folosim rezultatul finit și scrie $ A ^ $:
Acum, înlocuim toate cele trei matrice ($ X $, $ A ^ $, $ B $) în egalitatea $ X = A ^ \ cdot B $. Apoi multiplicăm matricele din partea dreaptă a acestei egalități.
Deci, avem egalitatea $ \ stânga (\ begin x_1 \\ x_2 \ end \ right) = \ stânga (\ begin -3 \\ 2 \ end \ right) $. Din această egalitate avem: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.
Rezolvați SLAU $ \ left \ x_1 + 7x_2 + 3x_3 = -1; \\ -4x_1 + 9x_2 + 4x_3 = 0; \\ 3x_2 + 2x_3 = 6. \ end \ right. $ prin metoda matricei inverse.
Se scrie matricea sistemului $ A $, matricea termenilor liberi $ B $ și matricea necunoscutului $ X $.
$$ A = \ left (\ începe 1 7 3 \\ -4 9 4 \\ 0 3 2 \ end \ right); \; B = \ stânga (\ begin -1 \\ 0 \\ 6 \ end \ right); \; X = \ stânga (\ begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end \ right). $$
Acum este momentul să găsim matricea inversă a matricei sistemului, adică găsiți $ A ^ $. În exemplul 3 din pagina dedicată găsirii matricelor inverse, matricea inversă a fost deja găsită. Noi folosim rezultatul finit și scrie $ A ^ $:
$$ A ^ = \ frac \ cdot \ stânga (\ începe 6 -5 1 \\ 8 2 -16 \\ -12 -3 37 \ end \ right). $$
Acum, înlocuim toate cele trei matrice ($ X $, $ A ^ $, $ B $) în egalitatea $ X = A ^ \ cdot B $ și apoi înmulțim matricele din partea dreaptă a acestei egalități.
$$ \ stânga (\ begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end \ right) = \ frac \ cdot \ stânga (\ începe 6 -5 1 \\ 8 2 -16 \\ -12 -3 37 \ end \ dreapta) \ cdot \ stânga (\ începe -1 \\ \\ 0 6 \ end \ dreapta) = \\ = \ frac \ cdot \ stânga (\ begin 6 \ cdot (-1) + (- 5 ) \ cdot 0 + 1 \ cdot 6 \\ 8 \ cdot (-1) +2 \ cdot 0 + (- 16) \ cdot 6 -12 \\ \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot 0+ 6 \ end 37 \ cdot \ dreapta) = \ frac \ cdot \ stânga (\ begin 0 \\ - \\ 104 234 \ end \ dreapta) = \ stânga (\ begin 0 \\ - \\ 4 9 \ end \ dreapta ) $$
Deci, avem egalitatea $ \ left (\ begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end \ right) = \ stânga (\ begin 0 \\ - 4 \\ 9 \ end \ right) $. Din această egalitate avem: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -4 $, $ x_3 = 9 $.
În mod firesc, soluția sistemelor de ecuații liniare cu ajutorul unei matrice inverse fără utilizarea programelor speciale precum Mathcad este posibilă doar cu un număr relativ mic de variabile. Dacă SLAU conține patru sau mai multe variabile, atunci este mult mai convenabil în acest caz să aplicați metoda Gauss sau metoda Gauss-Jordan.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: