Considerăm setul R. Comparăm-o cu setul N. Evident, ½N ½. Într-adevăr, intervalul [0; 1] conține un subset numărare. prin urmare, este cel puțin numărare. Noi arătăm că [0; 1] și N nu sunt seturi echipollente, adică, asta.
Teorema. Setul de puncte din [0; 1] nu este numărare.
Realizăm dovada prin metoda "prin contradicție". Să presupunem că setul [0; 1] este numărabil; există o bijecție N pe [0; 1] și fiecare element al segmentului poate fi numit: N>. Fiecare element al lui [0; 1] este reprezentat ca o fracțiune zecimală infinită. unde este cifra zecimală a elementului i. Noi scriem toate elementele lui N. în ordinea ascendentă a numerelor. Arătăm că există un element b. aparținând intervalului [0, 1], dar nu coincide cu oricare dintre elementele numerotate N. Metoda de construire a unui astfel de element este numit un Cantor și procedura diagonală este după cum urmează. Vom construi elementul b sub forma unei fracții zecimale infinite. unde este cifra zecimală. În calitate, să luăm orice număr care nu coincide. - Orice număr care nu coincide cu. și așa mai departe. pentru orice N (Figura 6). Elementul b construit în acest fel face parte din intervalul [0; 1], dar diferă de fiecare dintre elementele numerotate cu cel puțin o cifră. Prin urmare, presupunând că există o bijectie N ® [0; 1] este eronată, iar setul [0, 1] nu este numărabilă.
Figura 6- Procedura diagonală a lui Cantor
Astfel, am arătat că ½ [0; 1] 1> 1 N ½, adică, Clasa de echivalență la care aparține intervalul [0; 1] aparține dreptului clasei À0 seturi numerotate într-o serie de puteri (Figura 5). Denumim această clasă À (fără index). Seturile aparținând acestei clase sunt numite nenumărate sau seturi de continuitate cardinală (continuum - continuă). Această clasă conține, de asemenea, intervalul (0; 1) și setul R de numere reale și setul de puncte ale cercului în plan.
Un exemplu. Setul R are cardinalitatea continuumului; este echivalent cu intervalul [0; 1]. Într-adevăr, prin teorema Cantor-Bernstein (vezi 1.4.3), 1 [0; 1] 1 = 1 (0; 1) 1. Bijecția intervalului (0; 1) asupra setului R poate fi specificată utilizând o funcție complexă. unde are forma și hărtează intervalul (0; 1) la interval. dar harta intervalului la R conform legii.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: