O serie numerică este o expresie a formularului
unde sunt numere reale sau complexe, termeni numiți serii. - membru general al seriei.
O serie este considerată dată dacă termenul general al seriei, exprimat în funcție de numărul său n, este cunoscut. .
Suma primilor n termeni ai seriei se numește suma n-a parțială a seriei și este notată de, adică,
Dacă există o limită finită a unei secvențe de sume parțiale dintr-o serie, atunci această limită se numește suma unei serii și se spune că seria converge. înregistrare:
Dacă nu există sau =, atunci seria se numește divergentă. Un astfel de număr nu are o sumă.
Să luăm în considerare câteva proprietăți importante ale seriei:
Proprietate 1. Dacă seria converge și suma este egală cu S. atunci seria
unde c este un număr arbitrar, converge și suma este egală cu cS. Dacă seria se diferențiază, seria se diferențiază.
Denumim suma n-a parțială a seriei de către. atunci
și anume seria converge și are suma cS.
Acum arătăm că, dacă seria diferă, atunci seria se diferențiază. Să presupunem contrariul: seria converge și are o sumă.
și anume seria converge, ceea ce contrazice condiția privind divergența seriei.
Proprietatea 2. Dacă seria converge și seria
Și sumele lor sunt egale și, în consecință, seria converge
suma fiecărei fiind egală, respectiv.
Indicăm sumele n-a parțiale ale seriei, și, respectiv, și. atunci
și anume Fiecare dintre serii converge, iar suma este egală, respectiv.
Din proprietatea 2 rezultă că suma (diferența) unei serii convergente și divergente este o serie divergentă.
Proprietatea 3. Dacă un număr finit de termeni este adăugat (sau aruncat) unei serii, atunci seria și seria rezultate converg sau diverg simultan.
Indicăm prin S suma termenilor aruncați și cu k cel mai mare dintre numerele acestor termeni. Pentru a nu schimba numerotarea celorlalți membri ai seriei, vom presupune că au fost introduse zerouri ale membrilor eliminați. Apoi, pentru n> k, egalitatea deține, unde este a n-ta suma parțială a seriei obținute din serie prin aruncarea unui număr finit de termeni. prin urmare
+ . Rezultă că limitele din părțile din stânga și din dreapta există simultan sau nu există, adică seria converge (se diferențiază) dacă și numai dacă seria (fără un număr finit de termeni) converge (diverg).
În mod similar, argumentăm în cazul atribuirea unui număr finit de serii.
se numește reziduul n-lea al seriei. Se obține din seria prin eliminarea n din primele sale termeni. Seria este obținută din restul prin adăugarea unui număr finit de termeni. Prin urmare, conform proprietății 3, seria și restul ei =
simultan converg sau diverg.
Din proprietatea 3 rezultă, de asemenea, că dacă seria converge, atunci restul său tinde la zero;
O serie de progresii geometrice
Să investigăm convergența seriei
care se numește seria de progresie geometrică. Seria este adesea folosită în studiul seriilor de convergență.
După cum se știe, suma primelor n termeni ai progresiei este dată de formula. Să găsim limita acestei sume:
Luați în considerare următoarele cazuri, în funcție de valoarea q:
Dacă, atunci, la. Prin urmare, seria converge, suma sa este egală cu;
În cazul în care. apoi la. Prin urmare, seriile se deosebesc;
În cazul în care. atunci pentru q = 1 seria are forma
a + a + a + ... + a + ..., pentru el și, adică numărul de
diverge; pentru q = -1 seria are forma
a - a + a - a +. - în acest caz, chiar pentru n și pentru n ciudat. În consecință, nu există, seriile se deosebesc.
Un criteriu necesar pentru convergența unei serii numerice.
Constatarea sumei parțiale n-a și limita sa pentru o serie arbitrară este, în multe cazuri, o sarcină dificilă. Prin urmare, pentru a determina convergența seriei, se stabilesc criterii speciale de convergență. Primul dintre acestea, ca regulă, este semnul necesar al convergenței.
Dacă seria converge, atunci termenul său comun tinde la zero, adică .
Să serii converg și. Apoi și. Considerând că pentru n> 1. obținem:
Corolar (condiție suficientă pentru divergența seriei)
Dacă nici această limită nu există, atunci seria diferă.
Într-adevăr, dacă seriile au fost convergente, atunci (prin teorema). Dar aceasta contrazice condiția. Prin urmare, seria se diferențiază.
Teorema de convergență oferă o condiție necesară pentru convergența seriei, dar nu este suficientă: nu rezultă din condiția ca seria să converge. Aceasta înseamnă că există serii divergente pentru care.
De exemplu, să luăm în considerare așa numitele serii armonice
Este evident că. Cu toate acestea, seria diferă.
După cum știți. Prin urmare, rezultă că pentru oricine există o inegalitate. Logaritmul acestei inegalități în raport cu baza e, obținem:
Înlocuind n = 1, 2, ..., n - 1, n în inegalitatea rezultată. obținem:
Adăugând aceste inegalități la termen, obținem. Deoarece. obținem, adică. seria armonică se deosebește.
Semne suficiente de convergență a seriei semn definite.
Criteriul necesar pentru convergență nu oferă posibilitatea de a judeca dacă seria respectivă converge sau nu. Convergența și divergența seriei pot fi în multe cazuri stabilite prin intermediul așa-numitelor caracteristici suficiente.
Să luăm în considerare unele dintre ele pentru serii pozitive; serie cu termeni non-negativi.
Semne de comparare a seriei.
Convergența sau divergența unei serii pozitive este adesea stabilită prin compararea ei cu o altă serie, despre care se știe dacă converge sau nu. Această comparație se bazează pe următoarele teoreme.
Să se dea două serii de semne pozitive
Dacă pentru toate n inegalitatea
atunci convergența seriei implică convergența seriei, divergența seriei implică divergența seriei.
Denumim sumele n-a parțiale ale seriei și, respectiv, de u. Din inegalitate rezultă acest lucru
Să se converge seria și suma ei este egală cu. Apoi. Termenii seriei sunt deci pozitivi și, prin urmare, țin cont de inegalitate. Astfel, secvența () crește în mod monoton () și este mărginită de sus printr-un număr. Pe baza existenței unei limite, secvența are o limită, adică seria converge.
Acum permiteți divergențelor serii. Deoarece termenii seriei sunt non-negativi, în acest caz avem. Apoi, luând în considerare inegalitatea, ajungem, adică seria diverge.
Teorema 2 (limita de comparație)
Fie două serii pozitive și definite. Dacă există o limită finită diferită de 0, atunci seria converge sau diverge simultan.
Prin definirea limitei unei secvențe pentru toate n. cu excepția, probabil, un număr limitat de ei, pentru orice inegalitate, sau.
Dacă seria converge, atunci inegalitatea stângă și teorema 1 implică faptul că și seria converge. Dar apoi, în funcție de proprietatea 1 a seriei numerice, seria converge.
Dacă seria diverge, atunci din inegalitatea corectă, Teorema 1, proprietatea 1 rezultă că seria se diferențiază.
În mod similar, dacă seria converge (diverge), atunci seria converge (divergentă).
Arta similara:
Ordine număr
Convergenta numerica Convergenta seriei de convolutii ale seriei convergente O serie scalara este o secventa infinita de numere conectate prin semnul +. Ranks. 1. F (x) este definit pe întreaga linie R; 2.F (x) nu scade. Seria este o linie întreruptă care leagă punctele Xi Ni 40 Numerical.
Seria Fourier și aplicațiile sale (2)
Teză >> Matematică
funcția f (x) se descompune într-o serie trigonometrică. Seria (1) converge la un punct x0. ordinea numerică. compus din coeficienții unei serii trigonometrice date. converge absolut, adică ordinea numerică pozitivă converge. (3) Seria.
Cumpărați o sumă de bani și o sumă dintr-un număr de persoane de mai sus pentru cele mai bune rânduri Unic signage збіж
Numerele Viraz (13.1) se numesc numerele numerologice. În cazul unui număr, membrii sunt chemați. suma seriilor Pentru seria Sumi Teorema 1. Nu este nevoie de numere numerice.
Funktsionalnyj o zonă de număr yogo zbizhnosti Stepenevi ryadi Teorema lui Abel Іnterval і радіус збі
(13.28) și numeric (13.29) să fie constrânși. toate cifrele osi, și numeric zbigayatsya, apoi danii. gradul de înălțime poate fi redus în întregime num, вісь, інтервал.
Reprezentarea informațiilor numerice utilizând sistemul numeric
Sinteza lecțiilor >> Informatică, programare
Reprezentarea informațiilor numerice prin intermediul sistemelor numerice. tema lecției noastre de astăzi: "Prezentarea informațiilor numerice utilizând sistemul numeric". numărul este scris ca sumă a bazei numerice a gradelor bazei, ca coeficienți.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: