Dacă alegem polinomul de interpolare Lagrange cu noduri de interpolare echidistante, formulele rezultate de interpolare numerică sunt numite formulele pătrat Newton-Cotes.
Astfel, avem formula de integrare numerică
Formula (3) este o formulă de tip închis dacă capetele segmentului de integrare sunt noduri de interpolare și tip deschis, dacă cel puțin unul dintre capete nu este un nod de interpolare.
Noi scriem polinomul Lagrange intr-o forma scurta
nu depind de funcție, ci numai de nodurile de interpolare. Considerăm nodurile echidistant cu pasul h.
Polinomul Lagrange pentru nodurile echidistant are forma:
Pentru coeficientii obtinem:
Coeficienții (4) sunt coeficienții Cotes. Acestea pot fi calculate pentru diferite valori ale lui m.
Să presupunem că n = 1. avem 2 noduri de interpolare și doi coeficienți Cotes u.
Pentru n = 2 avem trei noduri ale coeficientului Cotes.
3. Cazuri parțiale de integrare numerică.
1) formula dreptunghiurilor mijlocii.
Înlocuim integradul cu polinomul de interpolare Lagrange de gradul zero
n = 0, avem un nod de interpolare, lăsați
de condiția de interpolare
Formula (5) este formula pentru dreptunghiurile mijlocii.
Semnificația geometrică este că zona trapezoidului curbilinar este înlocuită de aria dreptunghiului.
Eroarea formula trapezului.
Pentru n = 1, este termenul rest al formulei Lagrange.
Teoremă: dacă funcția f (x) are derivați continuu până la a doua ordine inclusiv, la un interval, apoi eroarea
Ca și în cazul precedent, aplicând formula Taylor și utilizând teorema privind valoarea medie a integralului, obținem:
Dacă pentru, atunci vom obține o estimare a erorii metodei:
3) formula parabolelor (Simpson).
Înlocuim integradul prin polinomul de interpolare de gradul al doilea Lagrange
, avem trei noduri de interpolare. Noi alegem,
Noduri echidistant, pas. Avem trei coeficienți Cote
Conform formula Newton-Cotes, avem:
Formula (9) este formula parabolelor (Simpson).
Semnificația geometrică este aceea că graficul funcției este înlocuit cu graficul polinomului Lagrange de gradul doi (parabola) pe interval. La calcularea integralului prin formula (9), valoarea sa numerică va fi egală cu aria trapezului curbilinar mărginit de sus prin arcul parabolei care trece prin punctele
Eroarea în formula parabolelor.
Teorema: dacă o funcție are derivați continuu până la a patra ordine inclusiv pe interval, atunci eroarea formulei parabola poate fi calculată din formula:
Dacă pentru, atunci vom obține o estimare a erorii metodei:
Pentru a spori acuratețea calculului integrat, se folosește următoarea metodă: segmentul de integrare este împărțit într-un număr suficient de mare de interstiții mici, iar o formulă de cvadratură Newton-Cotus cu mic n este aplicată fiecăruia dintre segmentele parțiale. Obțineți formule de structură simplă, numite formule generalizate.
5. Formule generalizate pentru integrarea numerică.
1) formula generalizată a dreptunghiurilor mijlocii.
Împărțim segmentul de integrare în n părți egale, obținem segmentele
Pasul de integrare. În fiecare segment parțial se aplică formula elementară obținută anterior a dreptunghiurilor medii și se adaugă rezultatele, deci avem o formulă generalizată pentru dreptunghiurile medii.
Dacă luăm capătul stâng pentru fiecare punct de interpolare pe fiecare segment parțial, obținem și
- formula generalizată a dreptunghiurilor stângi (11a)
Dacă nodurile aleg capetele potrivite, atunci
- formula generalizată a dreptunghiurilor drepte (11c)
Eroarea formulării generalizate a dreptunghiurilor medii.
La fiecare interval parțial, eroarea permisă este calculată prin formula (6), avem n segmente parțiale. Adăugând eroarea, vom avea:
Dacă dublați numărul punctelor de divizare, atunci eroarea va fi redusă de 4 ori.
- limita superioară a celui de-al doilea derivat din segment.
2) formula trapezoidală generalizată.
Împărțim segmentul de integrare în n egal cu puncte, obținem pasul de integrare.
Pe fiecare segment parțial se aplică formula elementară a trapezoidelor și se rezumă rezultatele.
Aceasta este formula generalizată trapezoidală.
Eroarea formulării trapezoidale generalizate.
Eroarea admisibilă pentru fiecare interval parțial este calculată prin formula (10), apoi pentru întregul segment obținut:
Dacă dublați numărul punctelor de divizare, atunci eroarea va fi redusă de 4 ori.
3) formula generalizată a parabolelor.
Precizia integrării aproximative crește în mod semnificativ dacă integrarea pe fiecare segment parțial este înlocuită cu o funcție patratică. Părăsim segmentul de integrare în n părți egale, apoi împărțim fiecare segment pe jumătate. În cazul general, se obține un număr par de intervale de 2n. Aplicăm formula (9) pentru fiecare pereche de segmente adiacente ale partiției.
Rezumând egalitățile, obținem o formulă generalizată pentru parabole:
Eroarea formulării generalizate a parabolelor.
Pe fiecare pereche de segmente adiacente, eroarea este estimată prin formula (10), avem n perechi, atunci
În practică, dacă problema este rezolvată cu ajutorul unui computer, eroarea se calculează utilizând formula de estimare a erorilor practice, bazată pe calculul dublu de calcul.
- valoarea integrala definita, calculata pe partitionarea cu n (n - egal).
- Valoarea unui integral definit, calculat atunci când se împarte în 2n părți.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: