Integrarea sau diferențierea în timp a seriilor de putere nu-și schimbă raza de convergență.
Dovada. Prin integrare pe termen lung se înțelege integrarea unei serii într-un interval. Rezultatul acestei operațiuni este :.
Aceasta este, de asemenea, o serie de putere, raza ei de convergență este egală cu raza de convergență a seriei originale.
Seria obținută ca urmare a diferențierii pe termen lung este, de asemenea, o serie de putere :. Raza de convergență este, de asemenea, egală cu raza de convergență a seriei originale.
2. (integrarea pe termen lung a seriilor de putere). Fie ca suma unei serii de putere pe un domeniu de convergență să fie egală cu o funcție. și anume . Apoi pentru.
Dovada. Validitatea acestei afirmații rezultă din convergența uniformă a seriilor de putere asupra intervalului și a Teoremei 18.2.3.2 asupra integrării termice a unei serii convergente uniform.
3. (diferențierea pe termen lung a seriilor de putere). Seria de putere poate fi diferențiată termic pe termen în orice punct al intervalului de convergență și.
Dovada. Validitatea acestei afirmații rezultă din convergența uniformă a unei serii de puteri compuse din termenii derivați ai seriilor originale pe orice interval care se află în intervalul de convergență și Teorema 18.2.3.3 privind diferențierea pe termen a unei serii convergente uniform.
4. (Diferentibilitatea infinita a sumei unei serii de putere). Suma unei serii de putere în orice punct al intervalului de convergență are derivate de orice ordine; acești derivați pot fi obținuți prin diferențierea succesivă pe parcurs a seriilor originale.
Dovada. Validitatea acestei afirmații rezultă din teorema dovedită a diferențierii termice a unei serii de putere; o aplicație consistentă a acestei teoreme dă, etc.
18.2.5. Un număr de Taylor. Am demonstrat că suma unei serii de putere în orice punct al intervalului de convergență este infinit de diferențiat. Exprimăm coeficienții seriei în termeni de sume derivate (am rezolvat o problemă similară în secțiunea 7.7, formula lui Taylor).
. Am pus-o aici. Toți membrii seriei, cu excepția zero, dispar, și.
Continuând acest proces, ajungem. Înlocuind coeficienții după expresiile obținute, reprezentăm seriile ca
. Seria de pe partea dreaptă a acestei formule este numită seria Taylor a unei funcții. În cazul particular, când seria are și forma
. este obișnuit să o numim seria Maclaurin. Reamintim că aceste serii sunt obținute presupunând că este suma unei serii de putere și x este un punct al intervalului de convergență.
Acum, ia în considerare problema inversă: ce ar trebui să fie funcția. astfel încât acesta să poată fi reprezentat ca o sumă a unei serii de putere? Primul lucru care este evident este că trebuie să fie o funcție infinit de diferențiată (deoarece suma seriei este infinit de diferențiat). Al doilea este că coeficienții seriei trebuie să fie egali. Prin urmare, să presupunem că este dată o funcție infinit de diferențiată. am gasit coeficientii seriei cu formula. formarea unei serii formale și găsirea domeniului convergenței sale. Valoarea acestei serii pe domeniul convergenței va fi egală cu. Aceasta este întrebarea pe care vom continua să o facem.
Să dăm un exemplu atunci când seria Maclaurin a unei funcții nu converge la. ci unei alte funcții. Să dovedim că toate derivatele acestei funcții în punctul x = 0 sunt egale cu zero. Când. . Astfel de incertitudini trebuie să fie dezvăluite la calcularea oricărui derivat; Prin înlocuirea t = 1 / x ele reduc la incertitudini care conțin funcții de putere și exponențială, valoarea limită în toate cazurile este determinată de exponentul funcției exponențiale și este egală cu zero. Derivatul la punctul x = 0 se găsește prin definiția derivatului:
. Astfel, derivatul este continuu la punctul x = 0 și este egal cu zero. și așa mai departe. Astfel, se demonstrează că toți derivații de la punctul x = 0 sunt egali cu zero. În consecință, toți coeficienții seriei Taylor ale acestei funcții sunt zero, iar pe întreaga axă numerică seria converge la o funcție identică egală cu zero, nu cu.
Formăm condițiile în care seria Taylor a unei funcții converge la această funcție. Aceste condiții pot fi formulate convenabil în termenii restului termenului formulării Taylor. Ne amintim rezultatele secțiunii 7.7. Formula lui Taylor. dacă are toate instrumentele derivate până la n + 1a ordine inclusiv într-un cartier dintr-un punct, atunci poate fi reprezentat ca o formulă Taylor cu un termen rest în forma Lagrangiană. unde este restul termenului sub forma lui Lagrange; - un punct situat între x și. .
Teorema. Pentru ca o funcție infinit de diferențiată într-o vecinătate a unui punct să se extindă într-o serie Taylor, este necesar și suficient.
Dovada. Necesitate. Să presupunem că într-un cartier dintr-un punct funcția este reprezentată sub forma unei serii Taylor convergind la această funcție. unde este suma parțială a seriei, este restul ei. Deoarece are numărul necesar de derivate, ea poate fi reprezentată și sub forma unei formule Taylor cu un rest de termen în forma Lagrangiană :. Comparând aceste reprezentări, obținem. Din convergența seriei k rezultă că. care urma să fie dovedită.
Suficiență. În cazul în care. atunci. și anume restul seriei tinde la zero. și anume seria converge la o funcție.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: