În această lucrare se descrie o metodă de calcul al integrării intrinsece a unei funcții netede prin intermediul formulelor de cvadratură. Formulele Newton-Cotes au următoarele caracteristici:
- O condiție necesară pentru convergența acestei metode este existența și limitarea derivatului funcției (ordinea derivatului depinde de formula aleasă)
- Formulele Newton-Cotes au un înalt grad de precizie
- Formule de comandă, "/>
unde este o funcție dată și integrabilă pe interval. Pe segment, se introduce o grilă ^ N "/>
unde sunt valorile funcției la noduri. unde sunt factorii de greutate. în funcție de noduri, dar nu depinde de alegere. Formula (2) se numește formula de cvadratură. Problema integrării numerice prin intermediul quadraturilor constă în găsirea unor astfel de noduri "/> și a unor astfel de greutăți" /> că eroarea formulei de cvadratură
a fost minim în modulul pentru o funcție de la o anumită clasă (valoarea depinde de netezime). Eroarea depinde atât de localizarea nodurilor, cât și de alegerea coeficienților de greutate. Introducem-o pe o grilă uniformă cu pas. și anume set de puncte și reprezintă integralul (1) ca sumă de integrale pe intervale parțiale:
Pentru a construi formula pentru integrarea numerică pe întreg intervalul, este suficient să construim o formulă de cvadratură pentru integrale
pe segmentul parțial, x_i] "/> și folosiți proprietatea (3).
Construcția formulelor de cvadratură
Având în vedere cele de mai sus, calculul valorii aproximative a integralului se realizează utilizând formula de cvadratură
Această formulă poate fi redusă la formularul standard
În general, nodurile și greutățile nu sunt cunoscute și urmează să fie determinate.
Considerați cazul în care nodurile sunt specificate și necesare pentru a găsi greutatea cuadratură formula „/> Noi folosim cerință :. Ecuația (5) trebuie să fie corecte pentru orice polinom de grad La un polinom de grad satisface această cerință, este suficient să se solicite ca formula de cuadratură exacte pentru. orice grad monom. Având în vedere că „/>, obținem ecuația
Acest sistem are o soluție unică, deoarece determinantul său este determinantul Vandermonde, diferit de zero dacă nu există noduri coincide,
deoarece este exact pentru) ^ 3 "/>:
Formulele triunghiulare și trapezoidale sunt precise pentru o funcție liniară, Pentru un polinom de gradul I, așa cum este ușor de văzut direct. În cazul general, ca polinom de interpolare al Lagrange
unde (s) "/> este coeficientul de interpolare Lagrange.
este clar că formula (5) este adevărată pentru un polinom de grad dacă coeficienții de greutate sunt determinați prin formula
Formulele de acest tip sunt numite formulele de cvadratură ale lui Cotec.
Declarația metodei
Utilizarea formulelor de cvadratură
Ne întoarcem la considerația integrală (1). Așa cum sa arătat mai sus, acest integral este înlocuit de o substituire a întregului în intervalul unității și, prin urmare, este ușor să generalizați formulele pentru un calcul aproximativ al integrării pe intervalul de unitate la un interval arbitrar. Aplicăm aparatul cu formule de cvadratură. Să presupunem că ni se dă o partiție uniformă a unui segment cu un pas, unde indicăm. Să se aleagă, de asemenea, o formulă de tip Quadrature Newton-Cotes (adică gradul polinomului este ales și, prin urmare, fiecare polinom este construit de-a lungul punctului grilei). De asemenea, credem că un anumit set de punct poate fi împărțit în subseturi de puncte cu aceeași extremitate, adică,
Apoi, însumând valorile cadranelor pe fiecare subset, obținem o valoare aproximativă a integratului cerut. Dacă indicăm factorii de greutate, atunci valoarea aproximativă a integrului poate fi scrisă sub forma unei sume duble
Acest algoritm poate fi generalizat într-un mod natural în cazul în care ^ K "/>, unde și în fiecare interval se dă o grilă uniformă. Atunci integritatea necesară este egală cu
iar pe fiecare dintre segmentele parțiale se calculează valoarea aproximativă a integrului folosind formulele de cvadratură.
Exemple de formule de cvadratură
Dăm exemple de formule cvadratoare Cotec pe o grilă uniformă cu un pas, în care indicăm:
- pentru 2 puncte (metoda trapezoidală),
- pentru 3 puncte (metoda Simpson),
- pentru 4 puncte,
- pentru 5 puncte,
- pentru 6 puncte,
- pentru 7 puncte,
- pentru 8 puncte,
- pentru 9 puncte,
- pentru 10 puncte,
Analiza metodei
Eroarea formula de cvadratură
Fie funcția să aibă un derivat continuu pe interval, adică punctele la care este dată valoarea funcției. Fie ca formula de cvadratură a i ordin să fie folosită. Introducem funcția
Apoi formula de eroare are următoarea formă
Aceasta implică o estimare a erorii
pentru t (t) | t />, unde> 0 "/> 0" /> este o constantă și când
Dacă (t) "/ nu schimbă semnul pe segment, atunci, prin teorema valorii medii, avem
Stabilitatea numerică a formulelor de cvadratură
Observăm că formulele lui Newton-Cotes sunt rareori folosite din cauza instabilității lor numerice, ceea ce duce la o creștere accentuată a erorii de calcul. Motivul acestei instabilități este că coeficienții formulelor Newton-Cotes pentru mari au semne diferite, și anume există atât coeficienți pozitivi, cât și negativi.
Luați în considerare suma de cvadratură
Să presupunem că valorile unei funcții date într-un interval sunt calculate cu o anumită eroare, adică, în loc de valoarea exactă, obținem o valoare aproximativă. Apoi, în loc de suma
Din moment ce formula de cvadratură este exactă, avem
și nu depinde de.
Să presupunem acum că toți coeficienții nu sunt negativi. Apoi, din (11) și (12) obținem estimarea
ceea ce înseamnă că pentru erori mari în calculul sumei de cvadratură (10) are aceeași ordine ca și eroarea în calculul funcției. În acest caz, spunem că suma (10) este calculată stabil.
În cazul în care coeficienții au semne diferite, se poate întâmpla ca suma ^ n „/> nu este delimitat în mod uniform de către și, prin urmare, o eroare în calculul majorarilor pe termen nelimitat cu o creștere. În acest caz, calculul cu formula (10) va fi instabilă și utilizarea unor astfel de formulă de mare este imposibil.
Experiment numeric
Dăm exemple de calculare a integralelor folosind formulele Newton-Cotes. Implementarea a folosit limbajul C ++, codul funcției care returnează valoarea aproximativă a integratorului este dat mai jos.
Codul sursă al funcției
La funcția de intrare au 4 parametri
dublu a - capătul din stânga al segmentului examinat
dublu b - capătul din dreapta al segmentului examinat
int Degree - gradul de polinom folosit
int Ndivisions - numărul de segmente la care este împărțit originalul. Coincide cu valoarea din formula (7)
f este o funcție integrabilă
Calculam, folosind formulele Cotus de puteri de la 1 la 9, valoarea integrala
Calculele se vor realiza fără a diviza segmentul în părți parțiale, adică folosind un punct unde este gradul polinomului. Rezultatele sunt prezentate în tabelul de mai jos. Au fost efectuate rotunjimi cu o precizie de 6 cifre după punctul zecimal.
Valoarea aproximativă a integrala
Recomandări pentru programator
Selectarea automată a pasului de integrare utilizând o estimare eronată posteriori prin metoda Runge
Amploarea eroare în integrarea numerică depinde de etapa de grilă, și netezimea integrandul. Cantitatea de eroare, în plus, include, de asemenea, valoarea (\ xi) „/>, care pot varia foarte mult pe intervalul și cunoscut dinainte. Pentru a reduce eroarea, este posibil să se macine plasei la un interval predeterminat. Dar este necesar eroare posteriori estimare. Astfel de erori de estimare pot fi Runge implementeze. Să considerăm aplicarea unei formule de cuadratură în segmentul parțial, x_i] „/>. Notăm valoarea integrală pentru toate otrepke, pentru valoarea integralei la th intervalului parțial pentru valoarea aproximativă a integralei pentru întregul interval, obținut cu o formulă și cvadratură grilă uniformă predeterminată cu un pas și pentru „/> valoare aproximativa a integralei la th segment parțial . Lăsați această formulă de cuadratură pe acest interval parțial este de ordinul a preciziei, care este,unde c este o constantă. atunci
Să folosim formula compozitului de cvadratură
în toate segmentele parțiale (sau, în special, în aceeași formulă) se utilizează formule de cvadratură cu aceeași ordine de precizie. Calculele efectuate pe fiecare interval parțial, x_i] "/> de două ori - o dată cu un pas, a doua oară cu pasul" /> și estimarea a posteriori eroarea conform regulii Runge (14). Dacă pentru 0 dată "alt =" \ varepsilon> 0 "/> atunci când inegalitățileadică, se va obține o precizie dată.
Dacă, pe unele segmente parțiale, estimarea (15) nu este îndeplinită, atunci pasul din acest interval trebuie zdrobit de două ori și din nou eroarea este estimată. Șlefuirea grilajului pe acest segment trebuie efectuată până la atingerea unei estimări a formei (15). Menționăm că pentru o anumită funcție o astfel de rafinament poate dura prea mult. Prin urmare, programul relevant ar trebui să prevadă un plafon pentru numărul de grindă.
Astfel, selectarea automată a etapei de integrare conduce la faptul că integrarea se face cu un pas mare pe secțiunile unei schimbări netede a funcției și cu un pas mic - în zonele de schimbare rapidă. Acest lucru permite o precizie dată pentru a reduce numărul de calcule ale valorilor comparativ cu calculul pe o rețea cu un pas constant. Subliniem faptul că pentru a găsi sume care nu trebuie să recalculeze valorile din toate nodurile, este suficient să se calculeze numai în noduri noi.
concluzie
Formulele Simpson și Newton-Cotes sunt o unealtă bună pentru calcularea unui integrat definit, un număr suficient de multe ori o funcție continuă diferențiabilă. Folosind exemplul formulelor din prima ordine, vedem că pentru un derivat limitat de ordinul întâi, precizia formulelor este, unde este spațierea rețelei și n "/> n" />. Adică, atunci când condițiile pentru aplicabilitatea acestei metode sunt îndeplinite, formulele oferă o ordine ridicată de convergență. Cu toate acestea, pentru cele mari, în special, deja, calculul valorii aproximative a integratului devine instabil din punct de vedere numeric, ceea ce le face inaplicabile.
Referințe
Trimiteți-le prietenilor: