În problemele aplicate, unghiurile sunt măsurate în grade și în științele teoretice în radiani. Un radian este aproximativ \ (57 ^ \ circ \), și într-o singură revoluție exactă (2 \ pi \) radiani. Prin definiție, măsura radianului unghiului este raportul lungimii arcului cercului cu centrul la vârful unghiului închis în acest unghi față de raza sa. Prin urmare, în cazul în care se mișcă corpului de-a lungul unui cerc cu raza \ (r \), la o viteză \ unghiulară (\ omega \) (adică în timpul \ (dt \) se extinde unghiul \ (\ omega dt \)), viteza \ ei (v = \ omega r \).
Dacă vorbim despre un corp solid care se poate roti după cum doriți, atunci viteza unghiulară ar trebui atribuită direcției. Este paralel cu axa de rotație și arată în direcția în care spinul se va roti în cazul în care corpul va fi la el. Apoi, viteza oricărui punct de pe acest corp cu vectorul raza \ (\ vec r \) va fi exprimată prin produsul vectorial (chiar dacă suntem în centrul de masă al sistemului corpului) \ (\ vec v = [\ vec \ omega \ ori \ r vec ] \). În direcție, este perpendiculară la viteza unghiulară, adică axa de rotație și vectorul de rază care conectează acest punct la originea prin care trece axa de rotație. Astfel, viteza se află într-un plan perpendicular pe axa de rotație. În valoare absolută, viteza v (v = \ omega \ rho), unde \ (\ rho \) este distanța față de axa de rotație.
Să răspundem la întrebarea: cum mișcarea cadavrelor diferă de la punctul de vedere al celor doi observatori care se rotesc unul față de celălalt. De exemplu, primul observator ești tu și ești pe Pământ, care se rotește în jurul axei sale. Și cel de-al doilea observator sunt eu, dar eu sunt pe Marte (Marte, desigur, se mișcă relativ față de Pământ, dar mult mai lent decât Pământul însuși se rotește, așa că o vom neglija). Începutul numărătoarei inverse a ambelor sisteme va fi în centrul Pământului. Toate vectorii din cadrul dvs. de referință vor fi notați ca de obicei, iar în mine vom adăuga lovitura \ ('\).
Același vector vă este văzut și pentru mine în moduri diferite, adică are coordonate diferite, deoarece axele coordonatelor sunt diferite pentru noi. De exemplu, vectorul \ (\ vec r \) desenat în notebook-ul dvs. se bazează pe tine și întotdeauna indică aceeași parte (în timp ce notebook-ul este în loc), iar pentru mine acest vector \ ((\ vec r) '\ nu doar direcționată spre cealaltă parte, ea se rotește încet, împreună cu întregul Pământ. Asta este, \ (\ vec r \ neq (\ vec r) '\). Cu toate acestea, acesta este același vector care conectează două puncte ale spațiului. Dar, altfel, problema este cu viteza.
Viteza de schimbare a vectorului din notebook este zero pentru tine, iar pentru mine nu este zero. Un vector cu zero este un vector zero, indiferent de modul în care te uiți la el, așa că nu vedem doar rata de schimbare în moduri diferite, vedem viteze diferite. Luați în considerare vectorul radius al unui corp, adică vectorul care leagă centrul Pământului de el. Deoarece tot ceea ce este în repaus pentru tine, ceea ce înseamnă \ (\ frac \ vec r = 0 \). pentru mine se mișcă cu viteza \ (\ frac (\ vec r) '= [\ vec \ omega \ times (\ vec r)'] \). Viteza unghiulară nu este necesară pentru a proiecta, deoarece axa de rotație este aceeași din ambele puncte de vedere. Apoi pentru deplasarea punctelor este de asemenea adevărat că
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ frac (\ vec r) '= \ Big (\ frac \ vec r \ Big)
Aceasta este ecuația principală, este adevărată pentru orice vector. Aceasta înseamnă că vectorul de viteză, pe care am văzut (în partea stângă) este diferit de vectorul de viteză pe care o puteți vedea, chiar dacă sunt transferate în meu cadru de referință (primul termen din partea dreapta), pentru a suplimenta, la care ne-am menționat deja (al doilea termen pe partea dreaptă).
Diferențiezăm această expresie din nou și obținem:
Cu primul termen pe partea dreaptă, procedăm în același mod ca și cu radiusul vectorului, care este înlocuirea \ (\ frac \ vec r \) pentru ecuația principală în loc de \ (\ vec r \) și obținerea:
\ [\ Frac \ Big (\ frac \ r vec \ Big) '= \ Big (\ frac \ r vec \ Big)' + \ Big [\ vec \ omega \ ori \ Big (\ frac \ r vec \ Big) '\ Big] \]
Al doilea termen este \ (\ frac (\ vec r) '\), pe care l-am găsit deja. Și ce este pe partea stângă? Accelerarea. Din moment ce sistemul meu de referință este mai mult sau mai puțin inerțială, spre deosebire de rotitoare, puteți utiliza legea a doua a lui Newton privind accelerarea și forța care acționează asupra organismului: \ ((\ F VEC) „= m \ Frac (\ r VEC)“ \ ). În cele din urmă, obținem:
\ [(\ Vec F) '= m \ Big (\ frac \ r vec \ Big)' + 2m \ Big [\ vec \ omega \ ori \ Big (\ frac \ r vec \ Big) „\ Big] + m \ Big [\ vec \ omega \ times \ big [\ vec \ omega \ times (\ vec r) '\ big]
Atingerea finală este eliminarea loviturilor. Într-adevăr, această egalitate de vectori, și este adevărat din orice punct de vedere. Apropo, înlocuirea accelerației cu forța ne permite să eliminăm cursa.
\ [\ Vec F = m \ frac \ r vec + 2m \ Big [\ vec \ omega \ ori \ frac \ r vec \ Big] + m \ ori Big [\ vec \ omega \ \ mare [\ vec \ omega \ ori \ vec r \ big] \ Big] \]
Și ultimul accident vascular cerebral - introducem notația standard pentru viteză și accelerare:
\ [\ Vec F = m \ vec a + 2m \ mare [\ vec \ omega \ ori \ v vec \ mare] + m \ Big [\ vec \ omega \ ori \ mare [\ vec \ ori \ omega \ r vec \ mare] \ Big] \]
Această ecuație arată că a doua lege a lui Newton nu se află în sistemul de referință neinerțial. Cu toate acestea, o putem forța să fie executată formal dacă introducem forțe inerțiale suplimentare care acționează asupra tuturor corpurilor. Aceasta este forța Coriolis
\ [vec F_ \ text = -2m [\ vec \ omega \ times \ vec v] \]
și forța centrifugală
\ [vec F_ \ text = -m [\ vec \ omega \ times [\ vec \ omega \ times \ vec r]] \].
Ce sunt?
Să începem cu centrifuga. Luați în considerare expresia \ (\ frac \ vec \ omega \) - aceasta este partea vectorului \ (\ vec r \), care este paralelă cu axa de rotație. Dacă se scade din ea, partea perpendiculară rămâne. Înmulțim cu pătratul vitezei unghiulare și se obține \ (\ omega ^ 2 \ r vec - (\ vec \ omega \ vec r) \ vec \ omega \), că în conformitate cu formula „bam minus TSAB» minimizată centrifugal accelerare \ nostru (- [\ vec \ omega \ times [\ vec \ omega \ times \ vec r]] \). Astfel, forța centrifugă este egală cu produsul pătratului vitezei unghiulare cu o distanță față de axa de rotație și este îndreptată departe de axa de rotație, deci este centrifugă.
Numără-l. Pământul să se întoarcă în jurul axei sale în \ (T \ approx8,! \ 6 \ cdot10 ^ 4 \ textul \), apoi viteza unghiulară de aproximativ \ (\ omega = 2 \ pi / T \ approx7,! \ 3 \ cdot10 ^ \ textul ^ \). Radiusul Pământului \ (R = 6, \! 4 \ cdot10 ^ 6 \ text \). Total \ (F_ \ text = m \ omega ^ 2R \ cca m \, 3, \! 4 \ cdot10 ^ \ text / \ text ^ 2 \). Aceasta este de trei sute de ori mai mică decât accelerația căderii libere și aceasta este valoarea maximă la ecuator. Apropo, din acest motiv, și tocmai pe o astfel de cota, razele polar și ecuatoriale ale Pământului sunt diferite. Cu toate acestea, aceasta este o cantitate neglijabilă. Centrifugele vă permit să obțineți accelerații de până la un milion \ (g \).
Puterea lui Coriolis este mult mai interesantă. Acționează numai asupra corpurilor în mișcare și acționează în partea laterală. În emisfera nordică, se trage spre dreapta (dacă vă mișcați paralel cu suprafața Pământului, nu cu capul în jos). La ecuator, trage în sus, dacă vă deplasați spre est. Ea este, de asemenea, foarte mică pe Pământ. Imaginați-vă un balon cu o flotabilitate perfectă (forța lui Arhimede compensează forța de gravitație), care se deplasează de-a lungul ecuatorului la vest cu viteza \ de rotație a Pământului (v = \ omega R \ approx470 \ text / \ textul \), Coriolis două depășește forța centrifugă, dar îndreptate împotriva ei, care este în jos. El va spune mingea accelerația, pe care o numim centripetal. Este această accelerare \ (a_ \ text = v ^ 2 / R \), care permite să se miște de-a lungul unui cerc cu raza \ (R \), la o rată de \ (v \), ceea ce face ca mingea. Și din punctul meu de vedere (mă întorc pe Marte), nu există forțe inerțiale pe minge și se blochează într-un singur loc, deci nu este nevoie de nici o accelerare centripetală.
În ciuda faptului că forța Coriolis este de două, trei sau chiar patru ordine de mărime mai mică decât gravitatea, caracterul său special (direcționalitate în lateral) conduce la consecințe interesante și importante. Cicloanele și anticicloanele sunt răsucite datorită acestei forțe. Într-adevăr, dacă undeva pe Pământ presiunea scade, aerul se grăbește acolo, forța Coriolis, acționând spre dreapta din emisfera nordică, răstoarnă aceste fluxuri în sens contrar acelor de ceasornic. Mai mult, procesele mai complexe sunt asociate cu condensarea și evaporarea apei, frecare față de suprafață etc. Ca rezultat, se obțin astfel de fenomene grandioase și imprevizibile precum uraganele sau taifunele.
Apropo, același lucru se întâmplă și cu apa din ocean. Forța Coriolis din partea de control controlează și curenții de mare. Dar influența ei asupra curgerii apei în chiuvetă este un mit. Deoarece cauza forței Coriolis este rotația Pământului, pentru a înțelege dacă are un efect semnificativ asupra unui proces, asociat și cu rotația, este necesar să se compare două viteze unghiulare. Apa din cochilie se rotește mult mai repede decât Pământul, așa că Coriolis nu are nimic de-a face cu asta.
Expunând aici despre forțele inerțiale, am folosit atât de liber faptul că Pământul se rotește în jurul axei proprii, dar totuși, pentru oameni, înainte de Newton, nu era deloc evident. Mecanicii lui Newton erau în acord cu presupunerea unui Pământ rotativ, dar probabil prima dovadă experimentală era pendulul lui Foucault. De fapt, acesta este un pendul matematic obișnuit, deși este foarte mare. Swinging de la o parte la alta, el experimenteaza actiunea fortei Coriolis, care il impinge in lateral si astfel roteste planul de oscilatie. Aceasta înseamnă că, dacă inițial se balansează de la vest la est, atunci, după un timp, fluctuațiile vor trece cu ușurință în planul nord-sud, apoi înapoi și așa mai departe. Mai bine înțelegeți de ce se întâmplă acest lucru dacă vă mutați la mine pe Marte. Imaginează-ți pendulul lui Foucault montat la polul nordic. În acest caz, nu contează absolut ce se întâmplă cu Pământul, acest plan de oscilații va rămâne în vigoare. Pământurile vor simți, de asemenea, că planul pendulului se rotește cu o perioadă de o zi. Dacă mutați pendulul mai aproape de ecuator, mișcarea acestuia va deveni mai complicată și perioada va crește.
Un alt fapt interesant legat de Coriolis, unul dintre argumentele principale ale adversarilor ipotezei rotației zilnice a Pământului, a fost că, dacă Pământul ar fi rotit, corpul aruncat vertical ar fi scăzut în mod semnificativ la vest de locul de aruncare. Probabil că veți spune că este un nonsens, amintiți-vă de suprapunerea a două mișcări (orizontale și verticale) și iertați această greșeală lui Aristotel însuși. Imaginați-vă surpriza când aflați că aceasta este o parte a adevărului, corpul va ateriza puțin spre vest și motivul pentru aceasta este forța Coriolis. Este amuzant că dacă aruncați corpul pe verticală în jos dintr-un turn înalt, acesta va ateriza puțin spre est decât se aștepta. Acesta este Coriolis. Apropo, ultimul fapt a fost asumat de Galileo și dovedit de Newton timp de un secol și jumătate înainte de dovada riguroasă a teoremei Coriolis privind mișcarea în cadrele neinerciale de referință.
Deci, am considerat unul dintre tipurile de cadre non-inerțiale de referință - sisteme rotative uniform. În ele, pentru a compensa abaterile de la noua lege a lui Newton, se introduc forțe inerțiale: forțele Coriolis și centrifugale. Pentru cazuri mai complexe de sisteme accelerate și rotative, iar forțele progresive inerțiale vor fi mai mari, până la cinci. Dar concluzia lor nu este fundamental diferită de ceea ce am făcut. Practicați-vă cu el.
Și rezolvați următoarea problemă. Imaginați-vă că sunteți pe un carusel rotativ și călătoriți de la periferie până la centru. Forțele centrifuge vă trag înapoi la periferie, astfel încât membrele dumneavoastră trebuie să facă muncă, adică pierdeți energie. Întrebarea este: unde merge această energie și cum se întâmplă?
Trimiteți-le prietenilor: