Armonicile sferice sunt, de asemenea, funcțiile proprii ale operatorilor:
, .
Substituim în aceste ecuații expresii explicite pentru operatorii în coordonate sferice:
Rezolvăm acest sistem de ecuații diferențiale prin metoda de separare a variabilelor:
Din a doua ecuație obținem
Când unghiul este schimbat, revenim la punctul de pornire al spațiului. Deoarece funcția de undă trebuie să fie unică,
.
în prima ecuație a sistemului și reducând, obținem o ecuație pentru:
.
Să înlocuim variabila:
, .
,
iar ecuația devine
.
Din teoria ecuațiilor fizicii matematice rezultă că nu există divergențe dacă și numai dacă
,
în cazul în care. Adică, pentru orice obținem ecuația
în cazul în care. În acest caz, este o funcție fără singularități pentru. Deoarece ecuația conține, funcțiile u diferă numai printr-un factor constant.
Să luăm în considerare două cazuri
.
Apoi, soluția este polinomul Legendre de grad. Forma sa explicită este dată de formula Rodrigue:
b). Apoi este polinomul Legendre adjoint. Pentru el avem:
.
Polinoamele Legendre posedă proprietatea ortogonalității:
.
Astfel armonicile sferice au forma (pentru nonnegative):
.
Constantele se găsesc din condiția de normalizare
.
Se poate demonstra acest lucru
.
Armonicile sferice cu cele negative sunt, prin definiție, considerate egale
Armonicile sferice formează o bază ortonormală completă asupra sferei.
Articole similare
-
Străinul a plecat în vacanță acasă principalele greșeli în întoarcere - ajută migranții din CSI!
-
Accidente vasculare cerebrale și prim ajutor, viață sănătoasă
Trimiteți-le prietenilor: