În mecanica cuantică
Un oscilator liniar armonic, un sistem care efectuează o mișcare unidimensională sub acțiunea unei forțe cvasi-elastice, este un model utilizat în multe probleme ale teoriei clasice și cuantice (vezi § 142). Pendulumurile de primăvară, fizică și matematică sunt exemple de oscilatoare armonice clasice. Energia potențială a unui oscilator armonic (vezi (141.5)) este
unde w0 este frecvența oscilantă naturală a oscilatorului, m este masa particulei. Dependența (222.1) are forma unei parabole (Figura 300), adică "potențialul bine" în acest caz este parabolic.
Amplitudinea oscilațiilor mici ale unui oscilator clasic este determinată de energia sa totală E (vezi figura 16). La punctele cu coordonate ± xmax, energia totală este egală cu energia potențială. Prin urmare, din punct de vedere clasic, particula nu poate depăși regiunea (-xmax. + Xmax). O astfel de ieșire ar însemna că energia sa potențială este mai completă, ceea ce este absurd, deoarece duce la concluzia că energia cinetică este negativă. Astfel, oscilatorul clasic se află într-un "canal potențial" cu coordonate -
- xmax £ x £ xmax "fără dreptul de a ieși" din acesta.
Oscilatorul armonic în mecanica cuantică, oscilatorul cuantic, este descris de ecuația Schrodinger (217.5), care ia în considerare expresia (222.1) pentru energia potențială. Apoi stările staționare ale oscilatorului cuantic sunt determinate de ecuația lui Schrodinger a formei
unde E este energia totală a oscilatorului. În teoria ecuațiilor diferențiale se demonstrează că ecuația (222.2) este rezolvată numai pentru valorile proprii ale energiei
Formula (222.3) arată că energia unui oscilator cuantic poate avea doar o valoare de decret, adică este cuantificată. Energia este limitată sub zero, ca și pentru un "puț" dreptunghiular cu pereți infinit de mari (vezi § 220), energia minimă E0 = 1/2 # 8463; w0. Existența unei energii minime - se numește energia punctului zero - este tipică sistemelor cuantice și este o consecință directă a relației de incertitudine.
Prezența oscilațiilor zero înseamnă că particula nu poate fi în partea inferioară a "puțului potențial", iar această concluzie nu depinde de forma sa. De fapt, "căderea în fundul groapei" este asociată cu dispariția impulsului particulei și, în același timp, cu incertitudinea ei. Apoi, incertitudinea coordonatelor devine arbitrar de mare, ceea ce, la rândul său, contrazice starea particulei în "potențialul bine".
Concluzia privind prezența energiei punctului zero al unui oscilator cuantic contrazice concluziile teoriei clasice, conform căreia cea mai mică energie pe care un oscilator o poate avea este zero (corespunzătoare particulei în repaus). De exemplu, fizica clasică conduce la concluzia că la T = 0 energia mișcării vibraționale a atomilor cristalului trebuie să dispară. În consecință, împrăștierea luminii datorată vibrațiilor atomilor trebuie, de asemenea, să dispară. Cu toate acestea, experimentul arată că intensitatea dispersiei luminii cu scăderea temperaturii nu este zero, dar tinde la o anumită valoare limită, indicând faptul că pentru T®0, vibrațiile atomilor din cristal nu se opresc. Aceasta este o confirmare a oscilațiilor punctului zero.
De asemenea, rezultă din formula (222.3) că nivelurile de energie ale unui oscilator liniar armonic sunt localizate la distanțe egale unul față de celălalt (Figura 300), și anume distanța dintre nivelele de energie vecine este egală cu # 8463; w0. valoarea minimă a energiei E0 = 1/2 # 8463; w0.
O soluție riguroasă a problemei unui oscilator cuantic duce la o altă diferență semnificativă față de tratamentul clasic. Calculul cuantic-mecanic arată că o particulă poate fi găsită în afara regiunii admisibile | x | <хmax (см. рис. 16), в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области (- хmax, + хmax ). Таким образом, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной. Этот результат (без его вывода) демонстрируется на рис. 301, где приводится квантовая плотность вероятности w обнаружения осциллятора для состояния n = 1.
Din figura rezultă că într-adevăr, pentru un oscilator cuantic, densitatea de probabilitate w are valori finite în afara regiunii admisibile clasic | x | ³ xmax, adică există o probabilitate finită (dar mică) de a detecta o particulă în regiunea din afara "puțului potențial". Existența valorilor nonzero ale lui w în afara "puțului potențial" se explică prin posibilitatea de a trece microparticulele printr-o barieră potențială (vezi § 221).
28.1. O particulă liberă se mișcă cu viteza u. Dovedeste ca relatia vphase u = c 2 se tine.
28.2. Electronul se mișcă în atomul de hidrogen de-a lungul primei orbite Bohr. Presupunând că incertitudinea admisă de viteză este de 1% din valoarea sa numerică, determină incertitudinea coordonatelor electronice. Este noțiunea de traiectorie aplicabilă unui electron în acest caz? [Dx = 33 nm; nu]
28.3. Funcția Y a unei particule are forma. unde r este distanța dintre această particulă și centrul de forță și a este constantă. Determinați distanța medie árñ particule din centrul de forță. [árñ= p / 2]
28.4. Scrieți ecuația lui Schrödinger pentru starea staționară a unui electron într-un atom de hidrogen.
28.5. Electronul se află într-un "canal potențial" unidimensional dreptunghiular de lățime l cu pereți infinit de mari. Determinați probabilitatea W de a găsi un electron în treimea mijlocie a "sondei" dacă electronul este în stare excitată (n = 2). Explicați semnificația fizică a rezultatului, arătând grafic densitatea probabilității de detectare a unui electron într-o anumită stare. [W = 0,195]
28,6. Bariera potențială dreptunghiulară are o lățime de 0,1 nm. Determinați în electron-volți diferența de energie U-E la care probabilitatea de trecere a unui electron prin barieră este de 0,99. [0,1 meV]
Elemente ale fizicii moderne
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: