Introducere în fractale

Conceptele geometriei fractale și fractale. a apărut la sfârșitul anilor '70, de la mijlocul anilor 80, stabilit în viața de zi cu zi a matematicienilor și programatorilor. Cuvântul fractal este format din fractul latin și în mijloacele de translație constând din fragmente. Acesta a fost sugerat de Benoit Mandelbrot în 1975 pentru a desemna structurile neregulate, însă auto-similare pe care le-a practicat. Nașterea geometriei fractale este de obicei asociată cu eliberarea în 1977 a cărții lui Mandelbrot "Geometria fractală a naturii". Lucrările sale au folosit rezultatele științifice ale altor oameni de știință care au lucrat în perioada 1875-1925 în aceeași zonă (Poincare, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Dar numai în timpul nostru au reușit să le combine munca într-un singur sistem.







Rolul fractalilor în grafica de astăzi este destul de mare. Ei vin la salvare, de exemplu, când este necesar, cu ajutorul mai multor coeficienți, să se stabilească linii și suprafețe de o formă foarte complexă. Din punctul de vedere al graficii computerizate, geometria fractală este indispensabilă în generarea de nori artificiali, munți, suprafața mării. De fapt, a fost găsită o metodă de reprezentare ușoară a obiectelor complexe non-euclide, ale căror imagini sunt foarte asemănătoare cu cele naturale.

Una dintre proprietățile principale ale fractalilor este auto-similitudinea. În cel mai simplu caz, o mică parte a fractalului conține informații despre întregul fractal.

Definiția unui fractal dat de Mandelbrot este: "Un fractal este o structură constând din părți care într-un fel sunt similare cu întregul" [3].


2. Clasificarea fractalilor

Pentru a reprezenta întreaga varietate de fractale, este convenabil să se recurgă la clasificarea lor general acceptată [2].

2.1 Fractale geometrice

Fractalele acestei clase sunt cele mai vizibile. În cazul bidimensional, ele sunt obținute cu ajutorul unei linii întrerupte (sau a suprafeței în cazul tridimensional), numită generator. Într-o etapă a algoritmului, fiecare dintre segmentele care constituie linia întreruptă este înlocuită de un generator poligonal, la scara corespunzătoare. Ca rezultat al repetării infinite a acestei proceduri, se obține un fractal geometric.


Figura 1. Construcția curbei triade Koch.

Luați în considerare unul dintre aceste obiecte fractale - curba triadei Koch [3]. Construcția curbei începe cu un segment de lungime a unității (figura 1) - aceasta este generația 0 a curbei Koch. Mai mult, fiecare legătură (într-un segment cu generație zero) este înlocuită de un element generator. indicată în figura 1 cu n = 1. Ca urmare a unei astfel de înlocuiri, se obține următoarea generație a curbei Koch. În prima generație, este o curbă cu patru legături rectilinie, fiecare cu o lungime de 1/3. Pentru a obține a treia generație, se efectuează aceleași acțiuni - fiecare legătură este înlocuită cu un element de formare redus. Deci, pentru a obține fiecare generație următoare, toate legăturile generației anterioare trebuie înlocuite cu un element generativ redus. Curba generației n pentru orice n finită se numește prefractal. Figura 1 prezintă cinci generații ale curbei. Când n tinde spre infinit, curba Koch devine un obiect fractal [3].


Figura 2. Construirea "dragonului" Harter-Heituey.

Pentru a obține un alt obiect fractal, trebuie să modificați regulile de construire. Fie elementul de formare două segmente egale, conectate în unghi drept. În generația zero vom înlocui segmentul unității cu acest element de generare astfel încât unghiul să fie în partea de sus. Se poate spune că, cu o astfel de înlocuire, mijlocul legăturii se schimbă. În construcția următoarei generații se realizează de regulă prima legătură din stânga se înlocuiește cu elementul de generare, astfel încât de nivel mediu deplasat spre stânga de la direcția de mișcare și pentru înlocuirea următoarelor unități, punctele mediane de direcție de offset de segmente trebuie să alterneze. Figura 2 prezintă mai multe primele generații și generația a 11-a a curbei construite conform principiului descris mai sus. Rezerva curba fractal (când n tinde la infinit) este numit dragon-Harter Heituey [3].







În grafica computerizată, utilizarea fractalilor geometrici este necesară atunci când se obțin imagini ale arborilor, tufișurilor, țărmurilor. Fractalele geometrice bidimensionale sunt folosite pentru a crea texturi tridimensionale (o imagine pe suprafața obiectului) [2,3].

2.2 Fractale algebrice

Acesta este cel mai mare grup de fractali. Ele sunt obținute prin procese neliniare în spații n-dimensionale. Cele mai studiate procese bidimensionale. Interpretarea procesului iterativ neliniar ca sistem discret dinamic, se poate folosi terminologia teoriei acestor sisteme: portretul de fază. proces echilibrat. atractor și așa mai departe.

Se știe că sistemele dinamice neliniare posedă mai multe stări stabile. Starea în care sistemul dinamic se dovedește după un anumit număr de iterații depinde de starea sa inițială. Prin urmare, fiecare stare stabilă (sau, cum se spune, un atractor) are o anumită regiune a stărilor inițiale, din care sistemul intră în mod necesar în stările finale în cauză. Astfel, spațiul de fază al sistemului este împărțit în regiuni de atracție ale atractorilor. În cazul în care spațiul bidimensional este faza, apoi colorarea regiunilor de atracție cu culori diferite, se poate obține un portret de fază de culoare a acestui sistem (proces iterativ). Schimbând algoritmul de selecție a culorilor, puteți obține modele complexe de fracturi cu modele bizare și multicolore. În mod neașteptat, matematicienii au avut posibilitatea de a folosi algoritmi primitivi pentru a genera structuri netriviale foarte complexe.


Figura 3. Setul Mandelbrot.

De exemplu, luați în considerare setul Mandelbrot (vezi figurile 3 și 4). Algoritmul construcției sale este destul de simplu și se bazează pe o simplă expresie iterativă:

unde Z i și C sunt variabile complexe. Iterațiile sunt efectuate pentru fiecare punct de pornire C al unei suprafețe dreptunghiulare sau pătrate - un subset al planului complex. Procesul iterativ continuă până când Z [i] nu va merge dincolo de un cerc cu raza 2 al cărui centru se află la punctul (0,0), (aceasta înseamnă că atractorul a sistemului dinamic este la infinit), sau după un număr suficient de mare de iterații (de exemplu 200-500) Z [i] converge la un punct al cercului. În funcție de numărul de iterații în timpul cărora Z [i] a rămas în interiorul circumferinței, este posibil pentru a stabili punctul de culoare al C (în cazul în care Z [i] este încă în interiorul cercului pentru un număr suficient de mare de iterații, procesul iterativ este oprit, iar acest punct raster este vopsit in culoare neagra) .


Figura 4. Secțiunea limitei setului Mandelbrot a crescut de 200 de ori.

Algoritmul de mai sus oferă o aproximare a așa-numitului set Mandelbrot. Setul Mandelbrot conține puncte care nu merg la infinit pentru un număr infinit de iterații (puncte care au culoarea neagră). Punctele care aparțin limitei setului (în cazul în care apar structuri complexe) merg la infinit într-un număr finit de iterații, iar punctele situate în afara setului merg la infinit după mai multe iterații (fundal alb).

2.3 Fractale stochastice

O altă clasă cunoscută de fractali sunt fractale stochastice, care sunt obținute dacă, în procesul de iterație, modifică aleator oricare dintre parametrii săi. În acest fel, se obțin obiecte care sunt foarte asemănătoare cu cele naturale - copaci asimetrici, linii de coastă accidentate etc. Fractalele stochastice bidimensionale sunt utilizate în modelarea terenului și a suprafeței mării [2].

Există și alte clasificări ale fractalilor, de exemplu, diviziunea fractalului în determinist (algebric și geometric) și non-determinist (stochastic).


3. Sisteme de funcții iterate







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: