Pentru a demonstra teorema lui Euler, luăm o față arbitrară F1 a polyhedronului și o margine F2 adiacentă de ea de-a lungul marginii. Subliniem faptul că această pereche de fețe este limitată de un contur conectat (care constă dintr-o singură bucată) care nu se auto-intersectează de marginile acestor fețe. Alegem a treia față F3. care se învecinează cu această pereche pentru o piesă conectată dintr-o linie întreruptă formată din margini (figura 21). Acest lucru, așa cum se vede ușor, se poate face întotdeauna. Apoi, limita triplei acestor fețe reprezintă, de asemenea, un contur conectat care nu se auto-intersectează. Este ușor să arătați că se poate adăuga o a patra față la fețele deja selectate, apoi la a cincea, și așa mai departe. astfel încât setul de fețe F1 obținut la următoarea etapă. F2. Fi a fost limitat de un contur neconsolidat conectat.
Calculăm caracteristica Euler a unui polyhedron pas cu pas. În prima etapă, contribuția feței F1 la caracteristica Euler, adică minus numărul de noduri ale numărului de marginile sale (la fel), plus numărul de fețe (în acest caz, egal cu 1), este egal cu 1. Prin adăugarea unui nou chip F2. am adăuga un număr de noi vârfuri, scade numărul de (număr mai mic de noduri pe unitate), noi muchii și adaugă una corespunzătoare noii față. Ca rezultat, contribuția la caracteristica lui Euler în a doua etapă este zero. Deoarece conectabile la fiecare etapă este legat anterior se confruntă cu o frontieră comună sub forma unei singure poligonal conectat, apoi fiecare pas (cu excepția ultimului), numărul de noi vârfuri este unul mai mic decât numărul de noi muchii. Prin urmare, la fiecare etapă, pornind de la cel de-al doilea la cel penultim, contribuția la caracteristica lui Euler este zero. Aderarea partea ultimul nu a dat nici un noduri noi sau noi muchii, adăugând la caracteristica Euler celei existente in prezent o alta care corespunde ultimei parte. Astfel, în ultima etapă obținem caracterul Euler al poliedrului egal cu 2.
Teorema lui Euler are o mare importanță în geometrie. Această teoremă a generat o nouă direcție în matematică - topologie. Caracteristica lui Euler nu depinde de lungimile marginilor, nici de suprafețele fețelor, nici de unghiurile polyhedronului. Caracterul Euler este egal cu 2, fie convex este un polyhedron sau nu. Principalul lucru este că suprafața acestui polyhedron nu are găuri și este "similară" cu sfera și nu cu cadrul (figura 22). Pentru un polyhedron "similar" cu un cadru, caracteristica Euler este 0.
1 Leonhard Euler (1707, Basel, Elveția - 1783, St. Petersburg) - un matematician genial, mai mult de 30 de ani din St. Petersburg, un membru al Academiei de Științe St. Petersburg.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: