Cu condiția. că evenimentul a avut deja loc. probabilitățile ipotezelor sunt supraestimate de formulele care au primit numele preotului englez Thomas Bayes:
- probabilitatea existenței unei ipoteze;
- probabilitatea existenței unei ipoteze;
- probabilitatea existenței unei ipoteze;
...
- probabilitatea existenței unei ipoteze.
La prima vedere, pare complet absurd - de ce să reevaluez probabilitățile ipotezelor, dacă sunt deja cunoscute? Dar, de fapt, există o diferență:
Sunt probabilități a priori (estimate înainte de testare).
- sunt posteriori (evaluate după testare) probabilitățile acelorași ipoteze, relatate în legătură cu "circumstanțele nou descoperite" - ținând seama de faptul că evenimentul sa produs în mod fiabil.
Luați în considerare această diferență pe un exemplu concret:
Depozitul a primit 2 loturi de produse: primul - 4000 bucăți, al doilea - 6000 de bucăți. Procentul mediu al produselor non-standard din primul lot este de 20%, iar în al doilea - de 10%. La întâmplare, produsul preluat din depozit sa dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea că este: a) din primul lot, b) din al doilea lot.
Prima parte a soluției constă în folosirea formulei de probabilitate totală. Cu alte cuvinte, calculele se efectuează presupunând că testul nu a fost încă efectuat și că evenimentul "produsul sa dovedit a fi standard" nu a avut încă loc.
Să luăm în considerare două ipoteze:
- La întâmplare, produsul luat va fi din prima tranșă;
- Produsul luat va fi din cea de-a doua tranșă.
Total: 4000 + 6000 = 10.000 articole în stoc.
Luați în considerare evenimentul dependent: - La întâmplare, produsul preluat din depozit va fi standard.
În primul lot de 100% - 20% = 80% din produsele standard, prin urmare: - probabilitatea ca, în mod aleatoriu, stocul luat în depozit să fie standard cu condiția. că aparține primului partid.
În mod similar, în a doua tranșă, 100% - 10% = 90% din produsele standard și - probabilitatea ca un produs luat la întâmplare să fie standard în condiție. că aparține celei de-a doua părți.
Prin formula probabilității totale:
- probabilitatea ca, în mod aleatoriu, produsul preluat în depozit să fie standard.
Partea a doua. Lăsați produsul la întâmplare din depozit să devină standard. Această frază este explicată direct în condiție și afirmă faptul că evenimentul a avut loc.
a) - probabilitatea ca produsul standard selectat să aparțină primului lot;
b) este probabilitatea ca produsul standard selectat să aparțină lotului 2.
După reevaluarea ipotezei, desigur, încă formează un grup complet:
Înțelegerea sensului reevaluării ipotezelor ne va ajuta pe Ivan Vasilievich, care și-a schimbat din nou profesia și a devenit directorul fabricii. El știe că astăzi primul magazin a expediat 4000 de depozite, iar cel de-al doilea magazin - 6000 de articole și vine să se asigure de acest lucru. Să presupunem că toate produsele sunt de același tip și sunt în același container. Bineînțeles, Ivan Vasilievich a estimat provizoriu că produsul pe care îl extrage acum pentru inspecție, cu probabilitate va fi eliberat de primul magazin și cu probabilitate - al doilea.
Dar după ce produsul ales este standard, el exclamă: "Ce șurub răcoritor! - a lansat curând cel de-al doilea magazin. Astfel, probabilitatea celei de-a doua ipoteze este supraestimată spre bine. iar probabilitatea primei ipoteze este subestimată :. Și această reevaluare nu este nefondată - în cele din urmă, atelierul 2 a produs nu numai mai multe produse, ci și lucrări de 2 ori mai bune!
Spui, subiectivitate pură? În parte, da, într-adevăr, Bayes interpretează el însuși probabilitățile a posteriori ca un nivel de încredere. Cu toate acestea, nu totul este atât de simplu - în abordarea Bayesian există, de asemenea, un obiect obiectiv. La urma urmei, probabilitatea ca produsul să fie standard (0,8 și 0,9 pentru magazinele 1 și 2), sunt preliminare (a priori) și estimări medii. Dar, ca să o spunem filozofic - totul curge, totul se schimbă și probabilități. Este posibil ca, la momentul studiului, cel de-al doilea magazin de succes să mărească procentajul producției de produse standard (și / sau reducerea primului magazin). și dacă verificați mai multe sau toate cele 10 mii de elemente din depozit, atunci valorile supraestimate vor fi mult mai aproape de adevăr.
Depozitul a primit 2 loturi de produse: primul - 4000 bucăți, al doilea - 6000 de bucăți. Procentul mediu al produselor non-standard din primul lot este de 20%, în al doilea - 10%. La întâmplare, produsul preluat din depozit nu era standard. Găsiți probabilitatea că este: a) din primul lot, b) din al doilea lot.
Condiția este diferită cu două litere, pe care le-am evidențiat cu caractere aldine. Sarcina poate fi rezolvată cu o "foaie curată" sau să se utilizeze rezultatele calculelor anterioare. In proba, am avut o soluție completă, dar că nu a existat nici o căptușeală formală cu №5 de sarcini, eveniment „în mod aleatoriu luat din depozitul produsul va fi non-standard„, este notat cu.
Aceasta este, în ochii investitorilor, o creștere constantă a probabilității ca "acesta să fie un birou serios"; în timp ce probabilitatea ipotezei opuse ("acesta este un alt escroc"). de la sine, scade și scade. Restul, cred, este de înțeles. Este demn de remarcat faptul că reputația câștigată oferă organizatorilor timp pentru a se ascunde cu succes de Ivan Vasilyevich, care a rămas nu numai fără un șir de șuruburi, dar fără pantaloni.
Lămpile electrice sunt fabricate în trei fabrici. Prima plantă produce 30% din numărul total de lămpi, a doua - 55%, iar a treia - restul. Produsele primei fabrici conțin 1% lămpi defecte, al doilea - 1,5%, al treilea - 2%. Magazinul primește produsele celor trei fabrici. Lampa cumpărată era cu o căsătorie. Care este probabilitatea că a fost produsă de către planta a II-a?
Rețineți că în sarcinile pentru formulele Bayesian, un anumit eveniment are loc în condiția, în acest caz, achiziționarea unei lămpi.
Numărul de evenimente a crescut și este mai convenabil să se formalizeze decizia într-un stil "rapid".
Algoritmul este exact același: în primul pas, găsim probabilitatea ca lampa achiziționată să fie, în general, defectă.
Folosind datele inițiale, traducem procentele în probabilități:
- probabilitatea ca lampa să fie produsă de plantele 1, 2 și 3, respectiv.
de control:
În mod similar: - probabilitatea fabricării unei lămpi defecte pentru instalațiile relevante.
Prin formula probabilității totale:
- probabilitatea ca lampa achiziționată să se dovedească a fi o căsătorie.
Pasul doi. Lampa achiziționată se dovedește a fi defectă (evenimentul a avut loc).
- probabilitatea ca lampa defectă achiziționată să fie fabricată de oa doua fabrică.
De ce a crescut probabilitatea inițială a celei de-a doua ipoteze după reevaluare. La urma urmei, a doua fabrică produce lămpi de calitate medie (prima este mai bună, a treia este mai rea). Deci, de ce a crescut probabilitatea a posteriori că lampa defectă este din fabrica a II-a? Acest lucru nu este explicat prin "reputație", ci prin mărime. Deoarece planta №2 a emis cel mai mare număr de lămpi (mai mult de jumătate), este logic, cel puțin, natura subiectivă a supraestimare ( „probabil, această lampă defect de acolo“).
Este interesant de observat că probabilitățile ipotezelor 1 și 3 au fost supraestimate în direcțiile așteptate și au egalat:
Controlul :. care urma să fie verificată.
Apropo, despre estimările subevaluate și supraestimate:
În grupul de studenți, 3 persoane au un nivel ridicat de pregătire, 19 persoane - medii și 3 - scăzute. Probabilitatea de a trece cu succes examenul pentru acești elevi este egală cu: 0,95; 0,7 și 0,4. Se știe că un student a promovat examenul.
Care este probabilitatea ca:
a) a fost pregătit foarte bine;
b) a fost preparat mediu;
c) a fost pregătit prost.
Efectuați calcule și analizați rezultatele reevaluării ipotezelor.
Trei ateliere ale fabricii produc același tip de piese care sunt livrate ansamblului într-un container comun. Se știe că primul magazin produce de 2 ori mai mult decât cel de-al doilea magazin și de 4 ori mai mult decât al treilea magazin. În primul magazin, căsătoria este de 12%, în al doilea - 8%, în al treilea - 4%. Un element este luat din container pentru inspecție. Care este probabilitatea ca aceasta să fie defectă? Care este probabilitatea ca piesa defectă extrasă să fie dată de magazinul 3?
Soluția. spre deosebire de Problemele nr. 5-8, aici se pune explicit o întrebare, care este rezolvată folosind formula probabilității totale. Dar, pe de altă parte, condiția este ușor "criptată", iar abilitatea școlară de a compila ecuațiile cele mai simple ne va ajuta să rezolvăm acest puzzle. Pentru "X" este convenabil să luați cea mai mică valoare:
Permite - cota de piese produse de al treilea magazin.
Prin această condiție, primul magazin produce de 4 ori mai mult din cel de-al treilea magazin, prin urmare, partea din primul atelier este.
În plus, primul magazin produce produse de 2 ori mai mult decât cel de-al doilea magazin, și, prin urmare, cota acestuia din urmă :.
Vom compune și vom rezolva ecuația:
Astfel: - probabilitatea ca elementul scos din container să fie eliberat de magazinele 1, 2 și 3, respectiv.
Controlul :. Nu va fi, de asemenea, nu mai mult de o dată pentru a vedea expresia „Este cunoscut faptul că prima fabrica produce produse în 2 ori mai mare decât al doilea atelier de lucru, și de 4 ori mai mare decât al treilea atelier,“ și asigurați-vă că probabilitatea de valori obținerea se potrivesc cu adevărat această condiție.
Pentru "X" a fost inițial posibil să se ia o parte din primul sau o parte din al doilea magazin - probabilitatea va fi aceeași. Dar, într-un fel sau altul, partea cea mai dificilă este trecută, iar soluția intră în calea laminată:
- probabilitatea producerii unei părți defecte pentru respectivele magazine.
Prin formula probabilității totale:
- probabilitatea ca, în mod aleatoriu, elementul scos din container să se dovedească a fi nestandard.
A doua întrebare: care este probabilitatea ca cel de-al treilea element să fi fost eliminat din partea defectă? Această întrebare presupune că detaliul a fost deja extras și sa dovedit a fi defect. Reevaluăm ipoteza conform formulei Bayes:
Este probabilitatea dorită.
Răspuns. - probabilitatea ca elementul scos din container să fie defect; - probabilitatea ca piesa defectă extrasă să fie eliberată de magazinul 3.
Soluții și răspunsuri:
Sarcina 2: Soluția. ia în considerare ipoteza. constând în faptul că shooter-ul va alege puștile 1, 2, 3, 4 și 5, respectiv. Alegerea oricărei puști este la fel de posibilă, prin urmare:
Luați în considerare evenimentul - shooter-ul va lovi țintă din pușcă luată la întâmplare.
Condiție:
Prin formula probabilității totale:
Problema 4: Soluția. din condiția în care găsim probabilitatea ca motorul să fie în ralanti, respectiv în regimuri normale și forțate.
Prin condiție - probabilitatea de defectare a motorului pentru regimul inactiv, normal și forțat, respectiv.
Prin formula probabilității totale:
- La întâmplare, produsul luat va fi din prima tranșă;
- La întâmplare, produsul aparține celui de-al doilea partid.
Total: 4000 + 6000 = 10.000 articole în stoc.
Prin definiția clasică:
.
Luați în considerare evenimentul: - La întâmplare, produsul preluat din depozit va fi nestandard.
Din condiție găsim: - probabilitatea ca produsul din loturile corespunzătoare să fie nestandard.
Prin formula probabilității totale:
Notă. această probabilitate este ușor de găsit, utilizând rezultatul problemei 5:
Lăsați evenimentul să se întâmple (se extrage un produs non-standard).
Prin formulele Bayes:
a) - probabilitatea ca produsul selectat selectat să aparțină lotului I;
b) este probabilitatea ca produsul selectat non-standard să aparțină lotului 2.
răspundă:
Sarcina 8: Soluție: total: 3 + 19 + 3 = 25 de studenți din grup.
Prin definiția clasică:
- probabilitatea ca elevul care examinează să aibă un nivel ridicat, mediu și scăzut de pregătire, respectiv.
de control:
Prin condiția: - probabilitatea de a trece cu succes examenul pentru elevii de niveluri adecvate de formare.
Prin formula probabilității totale:
- probabilitatea ca un elev ales arbitrar să treacă examenul.
Solicitați elevului să treacă examenul.
Prin formulele Bayes:
a) este probabilitatea ca elevul care a promovat examenul să fie foarte bine pregătit. Probabilitatea obiectivului inițial se dovedește a fi supraestimată, deoarece aproape întotdeauna unii "oameni obișnuiți" sunt norocoși cu întrebări și răspund foarte puternic, ceea ce cauzează o impresie greșită de pregătire impecabilă.
b) este probabilitatea ca elevul care a promovat examenul să fie pregătit mediu. Probabilitatea inițială este puțin supraestimată, deoarece elevii cu un nivel mediu de formare de obicei majoritatea, în plus, aici, profesorul va face referire, din păcate, la "studenți excelenți" și, ocazional, la un student rău care a avut noroc cu biletul.
c) probabilitatea ca elevul care a promovat examenul să fie prost pregătit. Probabilitatea inițială a fost pentru mai rău. Nu e de mirare.
Verificați:
răspundă:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: