O funcție care este continuă cu derivatele sale până la ordinul doi într-un anumit volum și care satisface ecuația Laplace se numește o funcție armonică.
1. Se consideră armonica funcția U. într-un domeniu D mărginit cu suprafața S. Presupunând că U este continuă cu ordinul doi până la S. și aplicarea a doua formulă verde (2) la funcția U și funcția armonică V = 1, obținem , având în vedere DV = D (1) = 0 și
adică, avem prima proprietate a unei funcții armonice: integrarea derivatului normal al funcției armonice de la suprafața domeniului este zero.
2. Dacă formula (3) este aplicabilă funcției armonice U, atunci, în virtutea DU = 0, obținem:
Aceasta ne oferă o funcție armonică a doua proprietate: valoarea unei funcții armonice, în orice moment în interiorul zonei exprimate în termenii valorilor acestei funcții și derivatul său normal asupra regiunii de suprafață cu formula (2).
3. Aplicați formula (2), la sfera cu centrul și raza R. Considerând că funcția U armonic în acest domeniu și este continuă cu ordinul întâi la suprafață.
În acest caz, direcția normalului exterior n coincide cu direcția razei sferei, astfel încât să avem
și formula (2) dă
Dar pe suprafața sferei, r are o valoare constantă a lui R, așa că
sau, în virtutea (1), avem definitiv
Această formulă exprimă treia proprietate a funcțiilor armonice: valoarea unei funcții armonice în centrul sferei este egal cu valoarea mediei aritmetice a acestei funcții pe suprafața sferei, adică egală cu integrala valorilor funcției pe suprafața sferei, împărțită la aria acestei suprafețe înseamnă.
4. O armonică funcție în interiorul domeniului și continuă până la limita, atinge maximul și valorile minime doar la limita, cu excepția cazului în care această funcție este constantă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: