Dovezi diferite ale teoremei lui Euler. Teoria modernă a polyhedrei provine din lucrările lui Leonard Euler 1707-1783 - unul dintre cei mai mari matematicieni din lume, a căror lucrare a avut o influență decisivă asupra dezvoltării multor secțiuni ale matematicii. L. Euler nu numai că era un matematician remarcabil, ci și o mare personalitate creatoare. Au scris aproximativ 760 de articole științifice pentru reviste, 40 de cărți, 15 de lucrări pentru diferite concursuri. Capacitatea de lucru a omului de știință, care crește pe tot parcursul vieții, este izbitoare.
Ea a fost plasat în dovada unor proprietăți remarcabile, care sunt subordonate corpului, limitat fețe plane. Considerăm diferite dovezi ale acestei teoreme. În viitor, acest material poate fi folosit pentru cercuri de studiu opționale și clase, precum și pentru studenții de auto-studiu. Înainte de a examina dovada, ia în considerare tabelul de mai jos numărul de fețe de T, B - nodurile P - margini poliedru Titlu GV Tetrahedron P 4 4 6 6 patrulater prismă 12 august piramida heptagonala 8 l 14 august bipyramid pentagonală 10 iulie 15 dodecadronului corecte 20 decembrie 30 Acum, vom găsi suma Γ B-P pentru fiecare din polyhedra reprezentată în tabel. În toate cazurile, sa dovedit a fi ГВ-Р 2. Este adevărat acest lucru numai pentru poliedra selectată? Se pare că această relație este valabilă pentru un poliedru convex arbitrar.
Această proprietate a fost observată pentru prima dată și apoi dovedită de L. Euler. Teorema lui Euler. Pentru orice polyhedron convex, următoarea relație este adevărată: Γ B-P 2. unde Γ este numărul de fețe; - este numărul de vârfuri și Ρ este numărul de muchii unui polyhedron dat.
Dovada. Există multe dovezi diferite ale teoremei lui Euler. Se propune să se ia în considerare cele trei cele mai interesante dintre ele. 1 Metoda cea mai comună, care provine din opera lui Euler însuși și sa dezvoltat în lucrarea matematicianului francez Auguste Cauchy 1789 - 1857 Studiul polyhedra 1811 g este după cum urmează. Reprezentăm suprafața unui polyhedron dat din material elastic.
Îndepărtăm una din fețe și tăiem suprafața rămasă într-un plan. Apoi, în avion, obținem o grilă din Figura 3. Conținând G? Domeniile Γ-1 care sunt încă numite fețe. În nodurile și marginile care pot fi îndoite. Pentru această rețea, trebuie să dovedim relația r? B-P 1, atunci relația pentru poliedron este validă. Să demonstrăm că relația nu se schimbă dacă se face o diagonală în rețea. Într-adevăr, după efectuarea unor diagonale în rețea, 1 fețe, vârfuri B și muchii P1, adică D? 1 В- Р 1 Г? B-F. Folosind această proprietate, trage o grilă diagonală, împărțind-o în triunghiuri în Figura 3, liniile punctate diagonale sunt afișate, și arată raportul prin inducție numărul n de triunghiuri in plasa.
Fie n1, adică rețeaua constă dintr-un triunghi. Atunci r? 1, B 3, P 3 și relația este îndeplinită. Acum permiteți relația să stea pentru o rețea formată din triunghiuri n.
Atragem un alt triunghi. Acesta poate fi atașat în următoarele moduri: 1. cum? ABC Fig. 3. Atunci grilă constă din Δ? 1 fețe, vârfuri B 1 și muchii P 2 și, în consecință, 1 În 1 - P 2 G? VP 2. Cum? MNL. Apoi grila constă din r? 1 fețe, vârfuri B și muchii P 1 și, prin urmare, Г? 1 В- Р 1 Г? B-F. Astfel, în ambele cazuri, adică pentru orice conexiune a triunghiului n 1-st, expresia nu se schimba, iar daca a fost 1 pentru o grilă de n triunghiuri, atunci este 1 pentru o grilă de n 1 triunghiuri.
Deci, relația este valabilă pentru orice rețea de triunghiuri, deci pentru orice rețea în general. În consecință, relația pentru un polyhedron dat este valabilă. O astfel de dovadă a fost propusă în 182. 2. O metodă de dovedire a teoremei Euler, legată de găsirea sumei unghiurilor plane ale unui polyhedron convex. Indicăm acest lucru prin a. Ne amintim că unghiul plan al poliedrului este unghiurile plane plane ale fețelor sale. De exemplu, descoperim că pentru astfel de polyhedra un tetraedru are 4 fețe - toate triunghiurile.
În acest fel. și cubul 4p b are 6 fețe - toate pătratele. În acest fel. și 6 p 12p, luăm acum o prismă arbitrară pentagonală. Are două fețe - pentagone și cinci fețe - paralelograme. Suma unghiurilor unui pentagon convex este de 3p. Reamintim că suma unghiurilor interioare ale unui n-gon convex este pn-2. Suma unghiurilor paralelogramei este de 2p. Astfel, S1 2 3p 5 2p 16p. Astfel, pentru a găsi o, am calculat mai întâi suma unghiurilor care aparțin fiecărei fețe.
Folosim această metodă în cazul general. Introducem următoarea notație S1, S2, S3 Sr - numărul laturilor 1, 2, 3 etc. ultima față a poliedrului. Apoi? А р S1-2 р S2-2 р Sr-2 p S1 S2 S3 Sr - 2Г. Apoi, găsim numărul total de laturi ale tuturor fețelor poliedrului. Este egal cu S1 S2 S3 Sr. Deoarece fiecare margine a polyhedronului aparține două fețe, avem S1 S2 S3 Sr2 P Reamintim că prin P indicăm numărul de muchii unui polyhedron dat.
În acest fel obținem? 1 Acum calculăm? Și într-un alt mod. Pentru a face acest lucru, vom schimba forma poliedru, astfel încât el nu a schimbat numărul de G, B, și R. Acest lucru se poate schimba unghiul fiecărei apartament separat, dar numărul? Și va rămâne același. Alegeți o conversie poliedru va lua una dintre fețele sale de bază, aranja orizontal și întinde pentru a face aceasta ar putea proiecta alte fețe ale poliedru. De exemplu, Figura 4.a arată ce vom obține în cazul unui tetraedru, și Figura 4.b - în cazul cubului. Figura 5 prezintă un polyhedron de tip arbitrar. Rețineți că poliedrului proiectat este fuzionată cu două plăci poligonale suprapuse cu un contur comun, al cărui superioară este împărțit în T-1 poligon, iar partea de jos pe margine nu este divizibil.
Indicăm numărul de laturi ale poligonului delimitat exterior de r. Acum găsim un polyhedron proiectat. dar constă din următoarele trei sume: 1 Suma unghiurilor feței inferioare, pentru care laturile r, este p r-2. 2 Suma unghiurilor plăcii superioare, ale cărei vârfuri sunt vârfurile feței inferioare, este de asemenea egală cu p r-2. 3 Suma colțurilor interioare ale plăcii superioare este 2p B-r, deoarece placa superioară are vârfuri interne B-r și toate unghiurile sunt grupate în jurul lor. Ei bine, atunci. și r r-2 p r-2 2p B-r 2pB-4p. 2 Astfel, comparând expresiile 1 și 2, obținem G Β - Р 2, după cum este necesar.
Acest mod de a demonstra teorema lui Euler este considerat în cartea matematicianului american și profesorului George Poya. 10 3 Metoda propusă de matematician L.N. Beskin. 5 Aici, ca și în cazul 1, se taie o față a polyedrului și se extinde suprafața rămasă în plan.
În acest caz, planul se obține o anumită valoare plan, așa cum este prezentat în figura 6. Să ne imaginăm că cifra plan descrie o insulă care este înconjurat de mare și este compus din câmpuri individuale - fețe separate unul de altul și de la baraje de apă - coaste.
Vom începe treptat să scoatem barajele, astfel încât apa să cadă pe câmpuri. Iar barajul poate fi înlăturat numai dacă se învecinează cu apă numai pe o parte. Prin eliminarea următorului baraj, irigăm exact un câmp. Acum arătăm numărul de baraje P - numărul de muchii ale poliedrului realizat este egal cu suma numerelor bilelor eliminate și rămase. Astfel, numărul de bucle luate este egal cu G-1. Într-adevăr, eliminând barajele, care sunt spălate cu apă doar pe o parte, am irigat toate câmpurile, adică fețe al căror număr este egal cu r-1. deoarece prima față a fost tăiată. În figura 6 numerele 1, 2, 3 15 arată ordinea de îndepărtare a digurilor. Numărul de baraje rămase este egal cu B-1. Vom arăta asta. În figura 7, sistemul nostru este prezentat după eliminarea tuturor barajelor posibile.
Mai multe barje nu pot fi îndepărtate, deoarece sunt spălate din două părți. Mai mult, nici două vârfuri ale sistemului, de exemplu B și D din Fig. 7. Nu pot fi conectate în două moduri, pentru că în caz contrar ar exista un contur închis din Figura 8. În acest caz nu ar exista apă, care să contrazică faptul că toate câmpurile sunt udate. Rezultă că în restul sistemului de baraje trebuie să existe un punct mort, adică Un vârf în care conduce o singură margine.
Alegem un vertex, de exemplu, punctul A din figura 7. Să mergem de-a lungul căii compuse din baraje și nu vom trece de vreun vârf de două ori. În final, din moment ce numărul de noduri este finit, ajungem la un capăt, de exemplu, la punctul G din figura 7. Apoi blocajul tăiat, adică Vârful G și barajul de margine adiacent vor fi tăiate. În sistemul rămas, vom alege din nou un anumit vârf, să mergem de la el și să tăiem sfârșitul mort.
În acest fel, vom ajunge în final la un sistem în care nu există baraje și există un singur punct care va rămâne după tăierea ultimului impas. Astfel, numărul de baraje rămase este egal cu B-1. În cele din urmă, obținem P r -1 B - 1. Prin urmare, Γ - - P 2. Teorema este dovedită.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: